Skæringspunkter

Opgave 1        En cirkel og en linje er givet ved ligningerne

En anden linje  går gennem punkterne  og

En tredje linje er givet ved ligningen

a. Skæring betyder, at begge ligninger skal være opfyldt for skæringspunkternes koordinatsæt.

b. Vinklen mellem linierne kan bestemmes som vinklen mellem liniernes normalvektorer, eller som vinklen mellem liniernes retningsvektorer.

c. Bestem de tre vinkelspidser i trekanten som de tre skæringspunkter mellem par af linier.

Jeg er godt klar over hvad skæringspunkter betyder, men hvordan finder jeg skæringspunkterne uden anvendelse af hjælpemidler?

Hvad er en normalvektorer? Jeg har i mine notater kun formlen u=w-v (hvor alle tre bogstaver er vinkler), men jeg ved ikke hvordan jeg skal bruge den, og hvilke tal der skal indsættes?

Jeg ved heller ikke, hvordan jeg skal bestemme de tre vinkelspidser, når jeg ikke må bruge hjælpemidler?

#2

Man må vel stadig gerne bruge papir og blyant?

Man skal løse ligningssystemet

(x-2)² + (y-3)² = 5 ,

2x = y+1 ,

dvs

y = 2x -1 ,

der indsættes i cirklens ligning

(x-2)² + (2x-4)² = 5 , eller

5·(x-2)² = 5

Løs nu denne ligning i x og bestem så y-koordinaterne til skæringspunkterne ved at indsætte i liniens ligning.

#3  Haha ja, det må vi vel! :D

Men, vil det sige, at jeg skal isolere x? For nu bliver jeg forvirret..

#4

Ja. Skæringspunkternes x-koordinater er jo løsning til ligningen

5·(x-2)² = 5

som meget let kan løses. Når man har skæringspunkternes x-kooridinater, finder man de tilhørende y-koordinater ved at benytte skæringsliniens ligning.

#2

Det er umuligt for os at vide, hvad du har lært eller ikke har lært.

Ud fra en linies hældningskoefficient a bestemmer man let den vinkel α, som linien danner med x-aksen. Vinklen mellem to linier kan så findes som en passende differens mellem de to liniers vinkler med x-aksen.

Okay nu prøver jeg:

5 * (x-2)² =5

5 * x² - 4 = 5

kvadratroden af x2 = kvadratroden af 5/5 - 2

dvs.

x = kvadratroden af -1

Hvor ligger min fejl?

#7

5(x - 2)² = 5
5(x² + 4 - 4x) = 5
5x² + 20 - 20x = 5
5x² - 20x + 15 = 0

som er en andengradsligning, der "bare" skal løses....

#7, #8

Det er lidt simplere blot at faktorisere ligningen i stedet for at gange alt ud.

5·(x-2)² = 5 ⇔

(x-2)² -1² = 0 ⇔

(x-2+1)·(x-2-1) = 0 ⇔

(x-1)·(x-3) = 0

hvoraf man aflæser rødderne.

#9 Jamen, jeg skulle jo ikke finde rødderne, men skæringspunktet mellem l og c (linjen og cirklen) ?

#10

Og det fører jo til, at skæringspunkternes x-koordinater er rødder i ligningen

5·(x-2)² = 5

som man så skal løse for at finde disse skæringspunkters x-koordinater.

Lidt at kigge på . . .

:-)

#11 Nåår på den måde! Havde sjovt nok ikke tænkt på det sådan. Men hvordan aflæser man rødderne egentlig? Og jeg ligger stadigvæk på bar bund, angående opg. b og c. Især c.

#12 Tak skal du have! Men jeg må ikke bruge hjælpemidler til denne opgave :( Ellers ville jeg mere end gerne have sat funktionerne ind på lommeregneren og fundet skæringspunkterne :D

Det var blot for overblikkets skyld - opgaven regnes stadig med papir og blyant efter de foregående anvisninger :-)

#13

Man løser ligningen

(x-1)·(x-3) = 0

ved at benytte nulreglen for et produkt, dvs

x-1 = 0 eller x-3 = 0 .

Vedr. spm b, læs svaret i #6.

Vedr. spm c, læs svaret i #1.

#15 Hvad betyder en passende differens?

Så for at løse opg c, bliver jeg nødt til at kende til metoden ved opgave b. Men jeg synes altså at din forklaring i #6 angående løsningen til opg b, er en smule svær at forstå...

# 0

Skole- og gymnasieelever, ja og lærerne, er jo særligt begunstiget ved at uge 14 kun indeholder en 4-dages arbejdsuge. Der skulle derfor være en hel dag til at regne en matematikopgave.  L u x u s  !  Matematikkens forunderlige Univers er, ja universel.            - Kun ment i sjov .

God ferie, til dig og hvem der ellers læser med.

#16

For at løse spm c kan man benytte resultatet i spm b, men det er ikke strengt nødvendigt.

I spm b. skal man bestemme vinklen α₁ som linien L danner med x-aksen. Hvis dens hældningskoefficient er a₁, er

tan(α₁) = a₁ .

Dernæst bestemmer man vinklen α₂ som linien m danner med x-aksen. hvis linien m har hældnignskoefficient a₂, gælder der

tan(α₂) = a₂

Vinklen mellem de to linier er så

u = α₁ - α₂

#17 Tak til dig, hahaha :D - og ilm! Jeg ærger mig dog stadigvæk over, at han valgte at sætte afleveringen ind et par timer før jeg skal rejse :P

#18 Ja, jeg kender allerede denne formel. Jeg plejer dog bare at kalde den u=w-v (hvilket i sidste ende er det samme). Men det er jo vinklen, som linjen L danner med linjen M, og ikke x-aksen?

#19

Vinklen mellem de to linier er jo netop forskellen mellem de vinkler, som linierne hver især danner med x-aksen, hvilket du burde kunne indse ved at lave en lille tegning.