Accelerometer

Mindre rettelse:

Under spørgsmål b, skull der have stået:

b) "Bestem bilens acceleration når positionen af perlen er x=-20 cm."

//sentinox

hmm på dit kraftdiagram ser det ud som om perlen triller ned.
Hint: acceleration føles som tyngdekraft.

Hvad mener dU?

Udregne opgaven vha. effektivt tyngefelt, eller?

Jeg ville differantiere y=x^2 og finde hældningen der, hvor perlen ligger. Summen af tyngdekraften og den kraft, der kommer af accelerationen, må ligge vinkletret på hældningen.

Ok.

Dette er jo simpelt nok...

Vi har da en ligning for tangenten:

tangent: -0.04 - 0.4*x

MEN jeg forstår IKKE din argumentation for at Normalkraften, skal være modsat rettet min tegning?

Hvis den ikke har den retning jeg har tegnet, vil den netop aldrig bevæge sig op ad snoren?

Men jeg er stadig MEGET i tvivl om i hvilken retning ACCELERATIONEN peger:

ENTEN:

1) Accelerationen af perlen langs parabelbuen er lig med accelerationen af bilen (bare modsat fortegn), det vil sige accelerationsvektoren er til et hvert punkt tangent til parablen.

ELLER:

2) Accelerationen af perlen er til et hvert punkt lig med bilens acceleration, dog er retningingen af accelerationen langs en akse indlagt i bilens beveægelse, dog modsat rettet.
Jeg er dog stadig meget i tvivl om:

ELLER:

noget helt tredie...

Håber der er nogle kloge hoveder derude...

/sentinox

Jeg har tænkt lidt mere over opgaven, og er kommet frem til at denne model er den rigtige:

"2) Accelerationen af perlen er til et hvert punkt lig med bilens acceleration, dog er retningingen af accelerationen langs en akse indlagt i bilens beveægelse, dog modsat rettet. "

Hvis jeg bruger denne får jeg:

N2 projektion på lodret:

m*g - N*cos(v) = 0 <=> N = m*g/cos(v)

N2 projektion på vandret:

m*a = -N*sin(v) =>

m*a = m*g*sin(v)/cos(v) <=> a = g*sin(v)/cos(v)

=>
a = 9.81*m/s^2*sin(11.31*grader)/cos(11.31*grader) = -1.96*m/s^2

Er der nogen der gider kigge hurtigt på det?

//sentinox

Det er ikke rigtigt. Du har beregnet en acceleration modsat bilens bevægelsesretning hvilket er i modstrid med normalvektorens retning på partiklens position. Den peger fremad og kan derfor ikke accelerere partiklen bagud.

Din projektion på vandret er gal og du får efterfølgende lavet noget fortegnsruskomsnusk.

Inden opgaven gennemgåes vil jeg genopfriske det mest basale om relativ bevægelse.

Newton's 2. lov gælder kun i inertialsystemer. For Newton betød dette et referencesystem i absolut hvile. I dag ved vi at det er umuligt at definere absolut hvile. Det er dynamikerens opgave at vælge et referencesystem der er "tilstrækkeligt" inertielt. Til eksempel er et referencesystem bundet til Jordens overflade inertielt nok til at beskrive en tennisbolds bevægelse, og også et projektils bevægelse, dersom dets rækkevidde er "kort nok". I virkeligheden roterer Jorden og rotationelle effekter projektilebevægelse kan ikke negligeres i en hvilkensomhelst bevægelse. I nogle tilfælde er man nødsaget til at vælge et referencesystem med origo i jordcentret og som ikke deltager i Jordens rotation. Hvad der kan betragtes som et inertialsystem afhænger således at det givne problem og de krævede nøjagtigheder.

Når inertialsystemet er valgt står man ofte overfor det faktum at det givne problem behandles langt mere bekvemt i et koordinatsystem, der deltager i den bevægelse, der betragtes. For at komme videre må man altså studere hvordan man beregner vektorer og deres afledede med hensyn til det inertielle system, men udtrykt ved basisvektorerne af det ikke-inertielle system (for det er det Newton's 2. lov kræver). Dette er studiet af relativ bevægelse.

Betragt et inertialsystem S, der har punktet O som origo og et ikke-inertielt henførelsessystem S', der har punktet O' som origo. Vi antager om det bevægede henførelsessytem S', at dets begyndelsespunkt O' har accelerationen a0 i forhold til O, og at det tillige roterer med vinkelhastigheden w i forhold til inertialsystemet S.

Vi betragter nu en partikel P med stedvektoren r i inertialsystemet og stedvektoren r' i det bevægede henførelsessystem. Med v og a betegnes partiklens hastighed og acceleration i inertialsystemet S, med v' og a' partiklens hastighed og acceleration i S'. Det er nu ved meget simple regner muligt at vise at der gælder sammenhængen

a = a0 + w x (w x r') + (dw/dt) x r' + 2w x v' + a' (*)

hvor "x" betegner vektorielt krydsprodukt.

Venstresiden er den inertielle acceleration - den der indgår i Newton's 2. lov. Første led på højre siden er det ikke-inertielle henførelsessystems acceleration i forhold til inertialsystemet. Sidste led på højre side er partiklens acceleration ift det ikke-inertielle system. De tre øvrige led på højre side er korrektioner for det forhold, at S' rotererer, muligvis med variende vinkelhastighed.

Man ser ofte, helt uforståeligt, at leddene på ligningens højre side ganges med partiklens masse og anvendes som fiktive kræfter i Newton's 2. lov. Det er en fremgangsmåde fyldt med fælder. Der er tale om accelerationsled, ikke kræfter. Man hører, specielt i populærvidenskab, tit termer som centrifugalkraft og Corioliskraft. Man kan regneteknisk godt benytte accelerationsleddene som krafter, men man skal aldrig, aldrig nogensinde tro de findes i virkeligheden, endsige indtegne dem på kraftdiagrammer (hvad du heller ikke har gjort -til gengæld vil jeg tro indlæg #2 afspejler en klar misforståelse af dette forhold).

Nu til opgaven.

Vi indlægger et inertialsystem på Jordens overflade og et henførelsessystem S', der deltager i bilens bevægelse. Ifølge opgaveformuleringen kan det antages at bilen, og der med S', ift inertielsystemet udfører en retlinet bevægelse. Da således w=0 reducerer (*) til

a = a0+a'


hvor altså a er den inertielle acceleration, a0 S' acceleration ift inertialsystemet og a' partiklens acceleration i S'.

I ligevægtspositionen står partiklen stille set fra S', hvorfor a'=0. Newtons 2. lov giver nu

ma = ma0

Dit kraftdiagram er fuldstændigt korrekt. Partiklen er udelukkende påvirket af tyngdekraften mg og en normalkaft N hidrørende fra kontakten med ståltråden.

N er i ethvert punkt ortogonal på tangenten til parablen i samme punkt. Tangenten i et punkt (x,y) har hældningen 2x. Tangenten danner en vinkel v med x-aksen givet ved

tan(v) = 2x

altså

v = atan(2x) for x >= 0

v = |atan(2x)| for x

Af N II haves nu i ligevægtstilstanden vektorligningen

ma0 = mg + N

Projektion på lodret og vandret giver:

x----

0 = Nsin(90-v) - mg

ma0 = Ncos(90-v) = Nsin(v)

[I den vandrette projektion har du en fortegnsfejl som det senere lykkes dig at trylle væk.]

Heraf

N = mg/cos(v)

og dermed

ma0 = mg*tan(v)

a0 = gtan(v) = gtan(|atan(2x)|) = -2xg

x >= 0:
-------

Eneste forskel er projektionen på vandret der nu er:

ma0 = -Ncos(90-v) = -Nsin(v)

Derfor fås

a0 = -gtan(v) = -gtan(atan(2x)) = -2xg

Dermed er vist at

a0 = -2xg for alle x

I den konkrete opgave er derfor

a0 = -2*(-0.2)*9.8m/s^2 = 3.9 m/s^2

øhh nå. Det forstod jeg ikke.
Bilens acceleration må svarer til en lige så stor kraft i den modsatte retning. Hældningen i det punkt, hvor perlen ligger er 0,4. Derfor må må accelerationen være 0,4*g (det giver samme resultat).

#8 rettelse: hældningen er -0.4

Jeg påpeger at denne fremgangsmåde er risikabel.

Du ækvivalerer effekten af den relative bevægelse med en kraft. Jeg anmoder om at erindre at en sådan kraft er et falsum; der er ingen kraft qua bilens acceleration. Dit udtryk

"Bilens acceleration må svarer til en lige så stor kraft i den modsatte retning"

er derfor grundlæggende forkert, omend jeg forstår hvad du mener.

[Tangenthældningen i punktet med x-koordinaten x=-0.2 er iøvrigt -0.4].

Da det er umuligt at kende forskel på acceleration og tyngdekraft, må det være ligegyldigt, om man regner accelerationen som acceleration eller kraft.

@ fixer:

Mange tak for din meget uddybende besvarelse.

Jeg tror jeg har styr på det nu...

//sentinox

#11 Nu nærmer vi os. Rent regneteknisk kan accelerationseffekter betragtes som ækvivalente med gravitationsfelter idet man ikke kan adskille disse fra virkelige gravitationsfelter. Men det er ikke det samme som at sige, at et legemes acceleration svarer til en ligeså stor modsatrettet kraft. Lad os se på det konkrete tilfælde:

I inertialsystemet er perlens acceleration lig bilens acceleration a, men her svarer accelerationen ikke til en lige så stor, modsat rette kraft.

I et henførelsessystem, der rejser med bilen, er perlens acceleration 0. En ligeså stor, men modsat rettet kaft på 0 er nok mulig, men ikke interessant.

Jeg tvivler ikke om at du sikkert er med på finesserne, men til skræk og advarsel for interesserede, lad mig fremføre følgende eksempel på lemfældig omgang ved fiktive kræfter. Eksmeplet er hentet fra et populærvidenskabeligt program:

"En satellit kredser om Jorden fordi tyngdekraften modsvares af en ligeså stor og modsat rettet centrifugalkraft".

Hvis man ikke kan se hvad der er i vejen med denne påstand, så skal man ikke begynde at flytte accelerationseffekter over på kraftsiden i Newton's II.