Matematik

Induktionsbevis

21. april 2013 af Stats

1. Vis ved induktion at
$\\ \sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$

2. Vis ved induktion at
$\\ \sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3. Vis ved inuktion at
$\\ \sum_{i=1}^ni^3=\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^2$

Jeg går ud fra at han vil have at jeg skal denne model:

1.2.2 induktionsprincippet antag at for hver n∈N har vi et givet udsagn P_n.
Antag videre at vi ved at følgende to krav er opfyldt:

(i) P₁er sand

(ii) Dersom P_k er sand for en k∈N, så er P_k+1 også sand.

Da er P_n sand for alle n∈N

---------

Jeg har knoklet med den hele dagen næsten. Og hver gang jeg kommer til P_k+1 bliver jeg i tvivl.

Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. april 2013 af peter lind

Hvad er du i tvivl om når du kommer til P_k+1

Svar #2
21. april 2013 af Stats

Ok, den første opgave

$\\ P_n:\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}\\ \\ P_1:\sum_{i=1}^1i=\frac{1(1+1)}{2}\\ \textrm{Vi ser at }P_1 \textrm{ passer.}\\ \\ P_k:\sum_{i=1}^ki=\frac{k(k+1)}{2}\\ \\ P_{k+1}:\sum_{i=1}^{k+1}i=\sum_{i=1}^{k}$

Men hvad/hvordan skal jeg så skrive, da vi nu har k+1 som øvre grænse,

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. april 2013 af peter lind

P_k+1 = P_k +(k+1) = (k(k+1)/2 + (k+1) = fortsæt selv

P_k+1 = 1+2+3+... k+ (k+1)

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. april 2013 af hbhans (Slettet)

S_n = n(n+1)(2n+1)/6 = n(n+1)(n+½)/3

Indledende skridt:

S₁= (1*2*3/2)/3 = 3/3 = 1 OK

Induktivt skridt:

S_n = S_n-1 + n²

3S_n = (n-1)(n-½)n + 3n² = (n³ - (3/2)n² +½n) + 3n² = n³ + (3/2)n + ½n = n(n + ½) (n + 1)

S_n = n(n+1)(n+½)/3 QED

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. oktober 2013 af SanneHa (Slettet)

Hej :)

Sidder med den samme opgave (den sidste), det er kun skridtet der driller mig :)

Skridt:

1³+2³+3³+...+n³+(n+1)³ = ( (n+1)((n+1)+1) / 2)²

Og så sidder jeg total fast. hjælp ønskes. :)

Skriv et svar til: Induktionsbevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.