andengradspolynomium

Til opgave a ved du at grafen er "glade" og derfor må a være positiv. fortegn til b kan du finde ved at kigge på toppunktsformel: -b/2*a. idet toppunktet lægger i 3 kvadrant må det betyde at b er positiv. c-værdien er skæringspunktet i y-asken, du ved at grafen skærer i 2-aksen i punktet (0,6), altså må c være =6 og dermed positiv..

# 1

Super, JG0005

- MEN HVORFOR?

Det tror jeg godt trådstarter kunne tænke sig at forstå . . .

Grafen for et andengradspolynomium p(x
) = ax^2+bx+c har toppunkt i 3. kvadrant og skærer 2.-aksen i punktet (0,6)

a) Hvad kan der sluttes om fortegnene for konstanterne a,b,c  og diskriminanten alene ud fra ovenstående oplysninger.

a=positiv. Dette kan forklares ud fra at toppunktet ligger i tredje kvadrant, og c=6

b=positiv. Dette kan som du selv siger, tages ud fra toppunktsformlen: T_x=-b/(2a). Tredje kvadrant ligge i en x-koordinat som er negativ. Derfor skal toppunksformlen for x-koordinaten også være negativ. Hvis vi indsætter en positiv værdi af b. T_x=-(b)/(2a) vil T_x have negativt fortegn. Samtidig ser vi T_x=-(-b)/(2a)=b/(2a) er positiv.

c=positiv. Dette kan forklares ved at skæringen med 2. aksen er positiv.

Din konklusion herpå er rigtig..

Det vides desuden at polynomiets mindste rod er
= −6 og toppunktets andenkoordinat er -2

b) Bestem konstanterne a,b og c og polynomiets anden rod.

To ligninger med to ubekendte:

-d/(4a)=-2

(-b+√d)/(2a)=-6

dvs

(i)           (-(b²-4a·6))/(4a)=-2

(ii)         (-b+√(b2-4a·6))/(2a)=-6

Du vil her få to sæt værdier: a=? og b=? eller a=? og b=?

De givne oplysninger er:

skæring med y-aksen i (0,6), hvilket giver c = 6 .

Den mindste rod er -6, toppunktet ligger i 3. hvadrant, og toppunktets y-koordinat er y_T = -2 .

Kald den anden rod for r. Da har vi

f(x) = a·(x+6)·(x-r) = a·(x² +(6-r)x -6r) .

Heraf ses, at c = -6ar = 6 , så    ar = -1 .

Toppunktets x-koordinat x_T ligger midt mellem de to rødder, så

x_T = (-6+r)/2

og derfor har vi

f(x_T) = a·((-6+r)/2+6)·((-6+r)/2-r) = a·(r/2 +3)·(-3-r/2) = -a·(r/2 +3)² = -2 , dvs

a = 2 / (r/2 +3)² .

Da r > -6, er r/2 > -3 , og dermed er r/2 + 3 > 0 , så a > 0 , og r < 0 . Vi har nu

-a = 1/r og dermed

(r/2 +3)² = -2r , så r må opfylde 2.-gradsligningen

r²/4 +5r +9 = 0 , eller

r² +20r +36 = 0 ,

med rødderne r = (-20 ±16)/2 = -10 ±8 , dvs r = -18 eller r = -2 . Da polynomiets mindste rod er -6, kan vi kun benytte r = -2 . Dermed er a = 1/2 , og polynomiet er

f(x) = (1/2)·(x+6)·(x+2) = (1/2)·x² +4x +6

Der er kun een løsning på opgaven.