Funktionsfølge uniform konvergens

Ved punktvis konvergens holder man x fast og betragter talfølgen {f_n(x)} . For at undersøge den punktvise konvergens for x ∈ ]0;1[ , ser man på 

lim_n→∞ (n·xⁿ·(1-x)) ,

og her er det, at bogen betragter funktionen h(x) = x·a^x·(1-a) = x·e^x·ln(a)·(1-a) , hvor 0 < a < 1.

#1

Ja. For at komme frem til vise om den konvergerer uniformt på det angivet interval A, gælder d_A(f, f_n) = 0 for n → ∞. Til at starte med, vil jeg finde f, sådan at f_n konvergerer punktvis mod f på A, altså f_n → f for n → ∞. Nu vil jeg gerne vide, hvordan denne bog forklarer, at (med dit eksempel) h(x) → 0 for x → ∞. Hvordan viser man det? Jeg forstår ikke bogens forklaring om den går mod nul." 

(Bemærk, at bogen til sidst siger, den ikke konvergerer uniformt - og det har jeg forstået. Jeg vil kun forstå den ønskede forklaring.)

#2

Den bruger l'Hopital's regel.

lim_n→∞ (n·xⁿ) = lim (n / x^-n) = lim(n/e^-n·ln(x))

og så ser man på den afledede af tælleren n og nævneren e^-n·ln(x) 

Tælleren differentieret (mht. n) = 1

Nævneren differentieret -ln(x)·e^-n·ln(x) = -ln(x) / xⁿ , så

lim_n→∞ (n·xⁿ) = lim_n→∞ (-xⁿ / ln(x)) = 0 , når 0 < x < 1.

#3

Jeg har to spg:

Hvorfor skal man fokusere på udtrykket nxⁿ, men ikke hele udtryk nxⁿ(1-x)?

Hvordan kan det være, at lim_n→∞ (-xⁿ / ln(x)) = 0 ? Er det fordi, at -xⁿ → 0 for n →∞?

#4

Faktoren (1-x) er jo en konstant i intervallet ]0;1[ , når x selv er i dette interval. Den har ingen indflydelse på konvergensen.

Man benytter l'Hopital. For at undersøge en funktion f(x) / g(x) for x → ∞ , hvor både f(x) og g(x) går mod 0 eller uendelig, kan man benytte, at f^(k)(x) / g^(k)(x) har samme konvergensforhold.

Ja, xⁿ → 0 for n → ∞ , når 0 < x < 1.

Hvis man undersøger om den konvergerer uniformt,

gælder der d_[0,1](f, f_n) → 0 for n → ∞. 

Jeg finder altså afstanden d_[0,1](f, f_n) = |f - f_n| = |0 - f_n|.

Her står i bogen, at man skal finde den maksimale værdi for f_n ved at løse ligningen f_n' = 0 ⇒ x = n/(n+1), så f_n(n/(n+1)) = (n/(n+1))ⁿ⁺¹→ e^-1 for n  → ∞. Altså konvergerer den ikke uniformt.

Men når jeg læser sådan en fremgangsmåde, kan jeg ingen steder se "d_[0,1](f, f_n) → 0 for n → ∞"-forklaringen, men at den kun nævner "f_n(n/(n+1)) → e^-1 for n  → ∞"-forklaring.

Eller er det helt det samme, for |0 - f_n(n/(n+1))| = f_n(n/(n+1)) → e^-1 for n  → ∞?

#6

Konklusionen er jo, at konvergensen ikke er uniform, og derfor gælder der ikke 

"d_[0,1](f, f_n) → 0 for n → ∞"