Konvergente/divergente integraler

Undersøg definitionsmængden og se om funktionerne er defineret i intervallet ]0; 1 [ Du skal derefter finde stamfunktionerne og se hvad der sker  for x-> 0 og x->1

Okay. Hvordan tjekker jeg om funktionerne er defineret i intervallet ]0;1[? Og hvordan finder jeg stamfunktionen? Jeg har prøvet med substitution, men jeg får bare ikke noget brugbart.

Stamfunktioner henh.vis. til a) og b) .

Du skal dog lige tjekke dem ved differentiation.

Find 0 punkterne for nævnerne. Det ene 0 punkt er 0. Hvis der ikke er nogle nulpunkter mellem 0 og 1 er funktionerne kontinuerte i intervallerne . Funktionerne kan skrives som A/x+ +B/(x-r1) + C/(x-r2) hvor r1 og r2 er rødderne. A, B og C kan findes ved at fuktionerne med nævnerne og løse den derved fremkomne ligning

#3

Jeg kan såmen godt finde stamfunktionerne hvis jeg bruger Maple, jeg var mere interesseret i hvilken fremgangsmåde jeg skulle benytte hvis jeg manuelt skulle integrere dem.

#4

Jeg har til a) fundet at x^3-2x^2+x har nulpunkterne x=0 og x=1. Så vidt jeg kan se er der ikke flere, og der er så det der ligger til grund for at integralet er defineret i ]0;1[?

Jeg forstår ikke helt det sidste du skrev, med at "A, B og C kan findes ved at funktionerne med nævnerne og løse den derved fremkomne ligning".

Jeg havde lige overset muligheden for dobbeltrod.

Den første kan så skrives som

f(x)  = A/x+B/(x-1)+C/(x-1)²

Ganger du det med nævneren får du

1= A(x-1)²+B*x(x--1)+ C*x

Den ligning skal være opfyldt for alle x, så ved at sætte nogle passende værdier for x ind får du ligninger til bestemmelse af A , B og C. Særlig gode værdier er rødderne i polynomiet altså her 0 og 1

Beklager Peter, men jeg er fuldstændig lost. Jeg kan ikke se hvordan det at finde rødderne til integralernes nævnere, kan fortælle mig hvorvidt integralerne er konvergente eller divergente, eller om de er defineret i intervallet ]0;1[.

Jeg kan se at for a) er nulpunkterne x=0 og x=1 og for b) er nulpunkterne x=-2, x=0 og x=1, men jeg forstår ikke hvad jeg skal bruge dem til :(

Et nyttigt link  P a r t i a l b r ø k

Okay. Jeg har fået at

   1/(x^3-2x^2+x) = 1/(x(x-1)^2)

                            = A/x+(Bx+C)/(x-1)^2

                            = (A(x-1)^2)/(x(x-1)^2)+(x(Bx+C))/(x(x-1)^2)

                            = (Ax^2-2Ax+A+Bx^2+Cx)/(x(x-1)^2)

Så sætter jeg x=0 ind og får

   (A0^2-2A0+A+B0^2+C0) = A = 1

og for x=1, fås

   (1*1^2-2*1+1+B*1^2+C*1) = 1-2+1+B+C = B+C = 1

Ved at sætte A = -B = 1 og C = 2, så får jeg

   (Ax^2-2Ax+A+Bx^2+Cx)/(x(x-1)^2) = (x^2-2x+1-x^2+2x)/(x(x-1)^2) = 1

Hvad skal jeg bruge dette til?

Omskrivningen til partialbrøk er kun hjælpen til at udfinde stamfunktionen.

For a) har vi integralets grænseværdi

Så jeg har at

   1/(x^3-2x^2+x) = (x^2-2x+1-x^2+2x)/(x(x-1)^2) = 1/(x(x-1)^2)

Er det denne omskrivning? Og i så fald, hvordan hjælper den mig med at finde stamfunktionen?

Er der ikke en flink sjæl derude som kan hjælpe mig med at få samlet op på det hele, da jeg er stået helt af. Evt. fortælle mig trin for trin hvad jeg skal gøre. På forhånd mange tak.

Du bør sætte værdierne direkte ind i formlen i #6. Sætter du x=0 i #6 får du 1 = A*1+B*0+ C*0 = A. Sætter du x= 1 ind i formlen i #6  får du  1 = A*0+B*0+C*1 = C

Fordelen er at du kan kan integrere de fremkomne funktioner. 1/x  1/(x-1) og 1/(x-1)² er enkle at integrere

#10 Den midterste er ikke heldig. I integrationsintervallet  er  x-1 < 0

# 10 og 13

Tak for korrektionen. Det midterste led i indmaden, i begge store parenteser, skal være (  - ln (1 - x)  )

Hvis du ser på: a) ∫ (1/(x^3-2x^2+x)) dx ,   [øvre grænse = 1, nedre grænse = 0]

Kan den omskrives til:

∫ (1/x - 1/(x-1) + 1/((x-1)^2) dx      [øvre grænse = 1, nedre grænse = 0]

Hvis du ser på første led 1/x^1 så er p>=1, hvorfor ledet divergerer. Hvis dette led divergerer, må hele intergralet gøre det.

Er det ikke korrekt? 

Okay. Så jeg har i a) at nulpunkterne til nævneren er x=0 og x=1 (dobbeltrod) og dem benytter jeg til at forenkle min brøk så den bliver nemmere at integrere ved at

     1/(x(x-1)(x-1)) = A/x+B/(x-1)C/(x-1)² = (Ax²-2Ax+A+Bx²-Bx+Cx)/(x(x-1)²)

     1 = A*0²-2A*0+A+B*0²-B*0+C*0 = A

     1 = 1-2+1+B*1²-B*1+C*1 = C

     1 = x²-2x+1+Bx²-Bx+x <=> B = -1

Så A = -B = C =1. Så ud fra ligningen 1/(x(x-1)(x-1)) = A/x+B/(x-1)C/(x-1)² fremkommer de 3 funktioner 1/x; 1/(x-1) og 1/(x-1)². Når jeg så integrerer disse 3 får jeg

     ∫ (1/x) dx = ln(x); ∫ 1/(x-1) dx = -ln(1-x) og ∫ 1/(x-1)² dx =-1/(x-1).

Er dette rigtigt forstået (er blevet temmelig forvirret efterhånden)?

hvad er så argumentet for at trække de 2 grænser fra hinanden, det forstår jeg nemlig ikke helt i #10?

Jeg mener ikke det er nødvendigt at gøre det så vanskeligt. Det drejer sig mere om at antage et eller andet ved at sammenligne for at spare tiden på det vanskelige hånkraftsværktøj.

Man kan altså observere tyndt sagt x³ - 2x² + x < x, så 1/(x³ - 2x² + x) > 1/x. Derved ses der enkelt til højre (antag det som en integrand) med det samme interval, vil det divergere, må resten derfor også divergere. Man kan desuden også se at _a∫¹(1/x) dx → ∞ for a → 0.

#15 Det er korrekt.

#16 Det er korrekt. Der gælder jo alment at ∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a). I dette tilfælde slipper du dog for at udregne F(a) idet som nævnt i #15 divergerer F(x) for x-> 0+

# 16  sidste linje :     Der er, i # 10,  anvendt den sædvanlige sætning om tilvæksten over en valgt stamfunktion.

Grænseværdier, for endepunkterne i intervallet  ] n ; N [   da endepunkterne ikke er defineret i integralet.

       hvor        

Grænseværdien           

Jeg fik begge integraler til at divergere, fik I andre også det?