Udledning af arealfunktionen

Opret i PDF og alle kan se den. Opret i et eller andet dokument og kun nogle kan se den.

Bare til at overveje

Men i hvert fald, skal vi huske på, at under en graf kan vi opdele i rektangler, som ikke helt er vores areal men kan til dels regne med at det er bedre end et gæt. Vi opdeler hver søjle med bredden Δx og højden kalder vi for f(x_i).

Vi kan derved beskrive grafen A≈_i=1∑ⁿ f(x_i)·Δx

Hvis vi nu lader bredden Δx→0 så vil n→∞, vil vi få en helt præcist areal. Da dette sker går vi fra at regne med endelige summer til infinitesimale summer. og ∑ bliver til ∫.

Derfor: A= _(delta)x→0lim _i=1 ∑ⁿ f(x_i)·Δx = ∫ f(x) dx

QED

Det ser rigtig fint ud!

:-)

Hehe, ja.. Går ud fra at det er ironisk ment.. :) Men det kan vel forstås ;)

Jeg er ikke helt med...

Hvad synes du ser fint ud Krabasken? Det jeg har livet eller Smatty's svar?

Og hvad er så det der er ment ironisk? At mit ikke ser fint ud eller at Smattys svar ikke ser fint ud?

Her er den i PDF, hvis i synes det er bedre :)

Heh, dit ser også rigtigt fint ud. Har ikke lige set dette bevis, men jeg syntes aligevel at det ser rigtigt nok ud :)

# 5

Hvis # 3 ikke var til mig, så har jeg misforstået det, og det beklager jeg også. Men hvis den var til mig, så giver # 4 også mening ;)

Mit bevis er:

Se på figur 1. Vi kan se at grafen har 8 søjler. Bredden på søjlen kalder vi Δx. På figur 1 har Δx bredden 1, og højden er f(x).. Det skal lige siges at bredden på Δx er markeret med grå farve, og f(x) er markeret med sort farve.

Det vil sige at arealet på sådan en søjle kan skrives som:

Lad os nu tænke os til, at vi vil have hele arealet under kurven. Det vil sige at vi skal lægge alle rektangler som ligger under kurven sammen. Dette kan skrives ved hjælp af et summations tegn:

i'et under summations tegnet står for indeks. Det vil sige, at hvis at hvis i=1 så er det søjle nr. 1 vi regner ud. Hvis i=2, så er det søjle nr. 2, osv. n'et over summationtegnet betyder, n søjler, og i figur 1 er n altså derfor 8, og i figur 2 er n=16, osv, osv. Udtrykket til højre for summation tegnet, er som bekendt, funktionen for arealet af en søjle. OK!

1. Summationen starter fra i=1 (ses i det formlen ovenfor)

2. Summationen slutter når den når de n søjler.

3. Summationens forskrift er højre for summations tegnet..

Håber det hjælper med forståelsen af summationstegnets funktion.

Ok.... Hvis Δx bliver mindre og mindre (Se fig.1 derefter fig. 2, fig. 3 og sidst fig. 4) Så ser vi at afstanden, eller rettere sagt, bredden (længden) går imod 0. Som vi så kan skrive som Δx→0... Prøv nu at forstil dig hvad der så sker med n i summationstegnet... (Husk på at n er antallet af søjler!!)

Ja nemlig. n→∞... Det kan vi skrive som:

Og som bekendt, så er et integral kendetegnet ved at summere uendelige små mængder. Og derved kan vi skrive det sidste udtryk som:

Summationen af alle grafens søjler ses i fig. 4

^{fig 1}

^{fig 2}

^{fig 3}

^{fig 4}

Ved godt at du har lavet dit bevis, men var det jeg omtalte i # 2, på en mere forståelig måde (Dette er kopiret, direkte fra en besked jeg sendte for et par måneder siden, herinde på SP, derfor kan der være nogenting der er uddybet mere end andet)

Jeg fastholder, hvad jeg skrev i # 3

Superfint!

:-)

Forstår godt at du synes noget er superfint, men er det mit bevis der er det eller hvad, Krabasken? 

Jä - var det ikke det, du spurgte om fra starten ?

:-)