Beviser for parabler og diskriminantformlen.

Nå du taler om diskriminantformlen mener du bevis for d = b^2 - 4ac eller bevis for x = (-b +- sqrt(d))/2a ?

Beviset for d=b^2-4ac

Så vidt jeg husker, så er der ikke et decideret bevis for d = b^2 - 4ac, idet d er et tal. Derimod beviser man løsningsformlen således


ax^2 + bx + c = 0

ax^2 + bx = -c

x^2 + b/a*x = -c/a

x^2 + b/a*x + (b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2

(x+b/2a)^2  = -c/a + b^2/4a^2 = (-4ac + b^2)/(4a^2)

sqrt((x+b/2a)^2) = sqrt((-4ac + b^2)/(4a^2))

x + b/2a = +-sqrt(b^2-4ac)/2a

x        = - b/2a +-sqrt(b^2-4ac)/2a = (-b +-sqrt(b^2-4ac))/2a

Vedr. toppunktformlen

Givet parablen: f(x) = ax² + bx + c
denne har toppunkt, hvor f'(x) = 0

Bestem først f'(x)

Løs derefter ligningen f'(x) = 0   (det er x-koordinaten til toppunktet)

Indsæt dette udtryk for toppunktets x-koordinat i parablens forskrift (f(x))
og bestem den tilhørende y-koordinat til toppunktet

Voila, du har toppunktformlen :-)

#3

x^2 + b/a*x = -c/a

x^2 + b/a*x + (b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2

(x+b/2a)^2  = -c/a + b^2/4a^2 = (-4ac + b^2)/(4a^2)

sqrt((x+b/2a)^2) = sqrt((-4ac + b^2)/(4a^2))

x + b/2a = +-sqrt(b^2-4ac)/2a

x        = - b/2a +-sqrt(b^2-4ac)/2a = (-b +-sqrt(b^2-4ac))/2a

Kan du ikke forklare hvad du har gjort fra led til led her? Tak :)

Ja først så trækker jeg c fra på begge sider af ligmed i første linje.

Så deler jeg med a på begge sider af ligmed i anden linje.

Så lægger (b/2a)^2 til begge sider for at skabe (x+b/2a)^2 i linje 3.

jeg sætter højre side på fælles brøkstreg i linje 4.

tager kvadrat-roden på begge sider for at opløse i anden i linje 5.

trækker b/2a fra på begge sider for a få x til at stå alene i linje 6.

sætter på fællesbrøkstreg i linje 7.