Matematik
Komposition i mængden R\{1}
Kære studieportalen. Jeg skal vise at
a ⊗ b = a + b - ab
er en komposition i mængden G = R \ {1}. Det er trivielt at vise at ⊕ er stabil, samt at der eksisterer et neutral og inverst element. Jeg kan dog ikke helt se, hvordan jeg skal komme videre med at vise at ⊗ er associativ. Jeg har at
(a ⊗ b) ⊗ c = (a + b - ab) ⊗ c = (a + b - ab) + c - (a + b - ab)c = a + b - ab + c - ac - bc + abc = a + b + c - ab - ac - bc + abc.
Er dette tilstrækkeligt til at vise at kompositionen er associativ og hvorfor? Ligeledes, hvordan vises det lettest at (G,⊗) er en abelsk gruppe?
Mvh. Jonas :D
Svar #2
30. juli 2013 af JonasMcc (Slettet)
Ja, det er jeg med på. Men hvordan vises det lettest at gruppen er kommutativ?
Svar #3
30. juli 2013 af Chrystine (Slettet)
Udregn b⊗a, og se at a⊗b = b⊗a.
Ligeledes vil du i beviset for associativiteten gerne udregne a⊗(b⊗c) og sammenligne med dit udtryk.
Svar #5
30. juli 2013 af Chrystine (Slettet)
Det var så lidt.
Udregningerne kan virke så simple, at man kan blive i tvivl - Men bare brug definitionen af kommutativ og din komposition, så er beviset der.
Svar #6
30. juli 2013 af Andersen11 (Slettet)
For at vise, at
a ⊗ b = a + b - ab
er en komposition i mængden G = R \ {1}
skal man vise, at a ⊗ b er defineret for alle a,b ∈G, og at a ⊗ b ∈ G for alle a,b ∈G .
Det er klart, at a ⊗ b = a + b - ab er defineret for alle a,b ∈G .
Dernæst skal man så vise, at når a,b ∈G , er a ⊗ b ∈ G .
Dertil undersøges løsningsmængden for ligningen
a + b - ab = 1 , dvs
(a - 1) · (b - 1) = 0 .
Denne ligning har løsningerne a = 1 ∨ b = 1 , dvs, at for a,b ∈G er a ⊗ b = a + b - ab ≠ 1 og dermed er a ⊗ b ∈ G .
Dermed er det vist, at ⊗ er en komposition i G.
Skriv et svar til: Komposition i mængden R\{1}
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.