Bevis for a^0=1

Når man dividerer ligningen

a⁰ · a^p = a^p

med a^p på hver side, fremkommer der så

a⁰ · (a^p / a^p) = a^p / a^p , dvs.

a⁰ · 1 = 1 , eller

a⁰ = 1

Regnereglen

aⁿ · a^m = a^n+m

fører altså til, at a⁰ bør tillægges betydningen 1.

se denne video [ LINK ] fra FriViden.dk

#1

men det er jo også lovligt at sige: 

a^0*a^p/a^p=a^p/a^p

sådan kan jeg vel godt reducere tæller, før jeg dividerer med nævner, og så giver det jo 1=1

a⁰ er defineret til at være 1. Man kan se, at det er en praktisk definition ud fra ligningen a⁰ * a^p= a^p, for så giver den mening.

Tilsvarende har man defineret a^-p = 1/a^p.

Man kan ikke bevise, at a⁰ = 1, men man kan vise, t det er en praktisk definition. Se f.eks.:

a³ = a*a*a

a² = a*a

a¹= a

a⁰= 1

a^-1 = 1/a

a^-2= 1/(a*a)

På højre side er der divideret med a på hvert trin, men derer trukket 1 fra eksponenten på venstre side.

Beklager, men det giver altså ikke rigtig mening for mig :(

Jeg synes, det er mærkeligt med et bevis, som kan modbevises. Det, synes jeg, modstrider alle andre regler i matematik.

   
     for
             a∈R₀ og n∈R er aⁿ
                                  definereret
                                                                   aⁿ = e^n•ln(a)
                                  som for n = 0
                                  giver
                                                                   a⁰ = e^0•ln(a) = e⁰
                                  som da
                                                                   ln(1) = 0
                                  giver
                                                                   1 = e⁰

     for
             a<0 og n∈Z - det udvidede potensområde, som f.eks. kendes fra folkeskolen,
             ville det være upraktisk med
             en anden regel for a⁰,
             hvorfor man for a ≠ 0
             definerer
                                                                   a⁰ = 1

            da 0⁰ sjældent tillægges noget meningsindhold.

            

rettelse til #6
 

for
             a>0 og n∈R er aⁿ
                                  definereret
                                                                   aⁿ = e^n•ln(a)
                                  som for n=0
                                  giver
                                                                   a⁰ = e^0•ln(a) = e⁰
                                  som da
                                                                   ln(1) = 0
                                  giver
                                                                   1 = e⁰

     for
             a∈R₀ og n∈Z - det udvidede potensområde _{(som f.eks. kendes fra folkeskolen)},
             ville det være upraktisk med
             en anden regel for a⁰,
             hvorfor man for a≠0
             definerer
                                                                   a⁰ = 1

            da 0⁰ sjældent tillægges noget meningsindhold.

#5

Hvor er det, du ser et bevis, der kan modbevises?

#8

a^0*a^p/a^p = a^p/a^p = 1

men!

beviset kræver at tæller ikke først reduceres, hvilket der jo ikke er nogen regel der siger man SKAL.

Derfor står der, at:

a^0*a^p/a^p = a^0

Altså er der to svar til ét stykke, hvilket ikke giver mening i den her sammenhæng.

#9

Nej, du roder tingene sammen. Som vist i #1 står der

a⁰ · a^p = a^p

Man kan flytte a^p over på venstre side, hvorefter man får

a⁰ · a^p - a^p = 0 , dvs.

(a⁰ -1) ·a^p = 0 .

Nulreglen giver så

a⁰ -1 = 0 eller a^p = 0 ,

og hvis det er antaget, at a ≠ 0 og dermed a^p ≠ 0 , er konklusionen derfor, at

a⁰ = 1

skal gælde som definition for a⁰ for at operetholde potensregnereglen.

#10

jeg kan uden problemer forstå, det du skriver, men det er jo to vidt forskellige fremgangsmåder. ikke at der er noget galt i det, men det besvarer ikke mit spørgsmål om, hvorfor man ikke må reducere tæller først

(a^0*a^p)/a^p

jeg synes, det både kan give 1 og a^0, og hvorfor der kommer to svar, forstår jeg ikke.

prøv at se bort fra, det er et bevis og ansku det i stedet som algebra "uden mening".

#11

Hele problemstillingen drejer sig om at finde en fornuftig definition for a⁰ . Derfor giver det ingen mening at fjerne a⁰ fra problemstillingen.

Man benytter potensregnereglen

a^n+m = aⁿ · a^m

til at sige, at der så må gælde

a^p = a^0+p = a⁰ · a^p ,

og man ledes så til, at der skal gælde

a⁰ = 1

for at opretholde potensregnereglen.

#11 

men hvorfor giver stykket to resultater?

jeg forstår godt beviset, er bare nysgerrig på algebraen ;)

#13

Jeg forstår ikke hvad du mener med det. Overvejelserne i #12 fører til den eneste konklusion, at

a⁰ = 1

er logisk foreneligt med de øvrige potensregneregler som definition for a⁰ .

#13

Lad os lade den ligge...

Husk at 1/1 = 2/2 = 3/3 = ... = a/a = 1 (for a≠0), så vil

a/a = a¹/a¹ = a^1-1 = a⁰ = 1.

a⁰·a^p = a^p føres frem til, at a⁰ = a^p/a^p = 1. (Lad fx b = a^p, så er b/b = 1).

#13, det giver to forskellige "resultater" at det skal "hænge sammen" uden at modsige sig selv. Hvis der gælder, at a⁰·a^p = a^p, så er enten a⁰ = 1 eller a^p = 0; FORDI

Hvis a⁰ = 1, får vi: a^p = a^p

Hvis a^p = 0, får vi: 0 = 0. Men du skal ikke tænke så meget over det.

Hvorfor a⁰=1

5²=25

5¹=5

5⁰=1

5^-1=1/5

-------------

Eller

2³/2³=2^3-3=2⁰=1

#17

Læs forklaringerne i #12 og #16.