Matematik
Lineære Afbildninger
25. oktober 2005 af
llm (Slettet)
Hej,
jeg har brug for hjælp til disse opgaver:
1) Lineær afbildning f: C^4 --> C^4 er givet ved matricen
F=[1,0,-i,0
1,-i,i,1
i,-1,-1,-i]
a) Hvordan finder man afbildningens billedrum?
Den er jo defineret som f(V)={y E W | y=fx)for mindst et x E V}...
b) Hvad menes der med, at man skal finde fællesmængden af kernen og billedrum?(Kernen har jeg fundet)
2) Lineæar afb. f:P[2](R) --> P[3](R) er givet ved: f(P(x)) = P'(x)+(x-1)P(x)
a) Løs den lineære ligning:
P'(x)+(x-1)P(x) = 1+x+x^2, hvor P(x) er ubekendt.
Tak.
jeg har brug for hjælp til disse opgaver:
1) Lineær afbildning f: C^4 --> C^4 er givet ved matricen
F=[1,0,-i,0
1,-i,i,1
i,-1,-1,-i]
a) Hvordan finder man afbildningens billedrum?
Den er jo defineret som f(V)={y E W | y=fx)for mindst et x E V}...
b) Hvad menes der med, at man skal finde fællesmængden af kernen og billedrum?(Kernen har jeg fundet)
2) Lineæar afb. f:P[2](R) --> P[3](R) er givet ved: f(P(x)) = P'(x)+(x-1)P(x)
a) Løs den lineære ligning:
P'(x)+(x-1)P(x) = 1+x+x^2, hvor P(x) er ubekendt.
Tak.
Svar #1
25. oktober 2005 af Esmil (Slettet)
Her kommer først lidt hjælp til 1.
a)
Lad
i = (1,0,0,0),
j = (0,1,0,0),
k = (0,0,1,0) og
l = (0,0,0,1).
Nu er {i,j,k,l} en base for C^4, så alle
v E C^4 kan skrives som
v = ai + bj + ck + dl,
for passende a,b,c,d E C, ikke?
Dvs.
f(v) = Fv = F(ai + bj + ck + dl)
= aFi + bFj + cFk + dFl.
(Jeg kan desværre ikke lave understrægninger, så du må holde tungen lige i munden, når du holder styr på hvilke 'bogstaver' der er skalarer, vektorer og matricer.)
Altså er alle w i billedmængden af f på formen
w = f(v) = af(i) + bf(j) + cf(k) + df(l).
Eller med andre ord er billedmængden af f, netop spandet af {f(i),f(j),f(k),f(l)}
Nu er det jo ikke sikkert, at alle disse vektorer er lineært uafhængige, så man kan måske droppe nogle af dem.
Det kan man generalisere: Hvis
{v_1, v_2, ...} udspænder V, så udspænder {f(v_1), f(v_2), ...} billedmængden af den lineære funktion f:V -> W.
Kernen af f (Ker f) er i virkeligheden en mængde af vektorer i C^4. Det samme er billedmængden af f (Im f).
Nu skal du altså bare finde fællesmængden (eller snittet) af de to mængder. Dvs.
{v E C^4 | (v E Im f) og (v E Ker f)}
a)
Lad
i = (1,0,0,0),
j = (0,1,0,0),
k = (0,0,1,0) og
l = (0,0,0,1).
Nu er {i,j,k,l} en base for C^4, så alle
v E C^4 kan skrives som
v = ai + bj + ck + dl,
for passende a,b,c,d E C, ikke?
Dvs.
f(v) = Fv = F(ai + bj + ck + dl)
= aFi + bFj + cFk + dFl.
(Jeg kan desværre ikke lave understrægninger, så du må holde tungen lige i munden, når du holder styr på hvilke 'bogstaver' der er skalarer, vektorer og matricer.)
Altså er alle w i billedmængden af f på formen
w = f(v) = af(i) + bf(j) + cf(k) + df(l).
Eller med andre ord er billedmængden af f, netop spandet af {f(i),f(j),f(k),f(l)}
Nu er det jo ikke sikkert, at alle disse vektorer er lineært uafhængige, så man kan måske droppe nogle af dem.
Det kan man generalisere: Hvis
{v_1, v_2, ...} udspænder V, så udspænder {f(v_1), f(v_2), ...} billedmængden af den lineære funktion f:V -> W.
Kernen af f (Ker f) er i virkeligheden en mængde af vektorer i C^4. Det samme er billedmængden af f (Im f).
Nu skal du altså bare finde fællesmængden (eller snittet) af de to mængder. Dvs.
{v E C^4 | (v E Im f) og (v E Ker f)}
Svar #2
25. oktober 2005 af Esmil (Slettet)
2. Jeg går ud fra, at du med P[n](R) mener vektorrummet af polynomier af grad n eller mindre med reelle koefficienter.
Du skal i virkeligheden løse ligningen
f(v) = 1 + x + x²,
for et v E P[2](R).
I stedet for P[n](R) er det meget nemmere at regne i R^n. Lad os derfor forsøge at lave problemet om, så vi kan løse det i R^n.
P[2](R) har den naturlige base {1,x,x²}, og R^3 har den naturlige base {i,j,k}. Nu findes der altså en isomorfi (bijektiv lineær afbildning)
p:P[2](R) -> R^3, så
p(v) = p(a + bx + cx²) = ai + bj + ck = (a,b,c)
Isomorfien p skifter altså bare baserne ud.
På samme måde findes en isomorfi
q:P[3](R) -> R^4.
Nu vil vi gerne finde en lineær afbildning f':R^3 -> R^4, der "svarer til f".
Dvs. f = q^(-1) o f' o p
(At bruge f på et polynomium skal altså svare til først at lave polynomiet om til en vektor i R^3, så bruge f' på den, og endelig lave vektoren tilbage til et polynomium)
Det gode ved f' er, at vi kan finde en reel matrice A, så f'(v) = Av.
Dvs. f(v) = q^(-1)(Ap(v))
Hvis du bruger q på begge sider, vil du se, at hvis vi bare løser
Aw = q(1 + x + x²) = (1,1,1,0),
så er p^(-1)(w) en løsning til det originale problem!
Hvis man bruger, at Ai er den første søjle i A, Aj den anden osv., og regner lidt mere vil man se, at
A's første søjle er givet ved q(f(1)),
A's anden søjle er givet ved q(f(x)), og
A's tredje søjle er givet ved q(f(x²)).
Dvs. A's første søjle er
q(f(1)) = q(0 + (x-1)) = q(-1 + x) = (-1,1,0,0),
A's anden søjle er
q(f(x)) = q(1 + (x-1)x) = q(1 - x + x²) = (1,-1,1,0).
Find selv den tredje søjle, og løs
Aw = (1,1,1,0)
Alt det her kan selvfølgelig generaliseres meget, og jeg har ikke bevist nogle af mine påstande. Det er jeg dog sikker på de gør i den bog, du bruger til faget.
Du skal i virkeligheden løse ligningen
f(v) = 1 + x + x²,
for et v E P[2](R).
I stedet for P[n](R) er det meget nemmere at regne i R^n. Lad os derfor forsøge at lave problemet om, så vi kan løse det i R^n.
P[2](R) har den naturlige base {1,x,x²}, og R^3 har den naturlige base {i,j,k}. Nu findes der altså en isomorfi (bijektiv lineær afbildning)
p:P[2](R) -> R^3, så
p(v) = p(a + bx + cx²) = ai + bj + ck = (a,b,c)
Isomorfien p skifter altså bare baserne ud.
På samme måde findes en isomorfi
q:P[3](R) -> R^4.
Nu vil vi gerne finde en lineær afbildning f':R^3 -> R^4, der "svarer til f".
Dvs. f = q^(-1) o f' o p
(At bruge f på et polynomium skal altså svare til først at lave polynomiet om til en vektor i R^3, så bruge f' på den, og endelig lave vektoren tilbage til et polynomium)
Det gode ved f' er, at vi kan finde en reel matrice A, så f'(v) = Av.
Dvs. f(v) = q^(-1)(Ap(v))
Hvis du bruger q på begge sider, vil du se, at hvis vi bare løser
Aw = q(1 + x + x²) = (1,1,1,0),
så er p^(-1)(w) en løsning til det originale problem!
Hvis man bruger, at Ai er den første søjle i A, Aj den anden osv., og regner lidt mere vil man se, at
A's første søjle er givet ved q(f(1)),
A's anden søjle er givet ved q(f(x)), og
A's tredje søjle er givet ved q(f(x²)).
Dvs. A's første søjle er
q(f(1)) = q(0 + (x-1)) = q(-1 + x) = (-1,1,0,0),
A's anden søjle er
q(f(x)) = q(1 + (x-1)x) = q(1 - x + x²) = (1,-1,1,0).
Find selv den tredje søjle, og løs
Aw = (1,1,1,0)
Alt det her kan selvfølgelig generaliseres meget, og jeg har ikke bevist nogle af mine påstande. Det er jeg dog sikker på de gør i den bog, du bruger til faget.
Skriv et svar til: Lineære Afbildninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.