Forståelse af en løsning

e^-iφ = cos(-φ) + i sin(-φ) = cos(φ) - i sin(φ)

Benyt φ = ω_n· t

Så skulle du kunne genemskue det

#0:  Nu er jeg ikke matematiker, men praktiker. Funktionen e^j(ωt) cirkulerer jo på enhedscirklen i den komplekse talplan med perioden 2π. Hvis du ser på funktionen sin(ωt) er den fuldstændig symmetrisk omkring t=0, og du kan dermed ikke skelne mellem om ω er positiv eller negativ. Eulers omskrivning er derfor i praksis nærmest selvfølgelig.

En lille trykfejl i #0

Der skulle stå: "isin(ω_n · t)" og ikke "isin(ω_n + t)" ved (**).

#1

Tak, men..

Jeg forstod dog ikke helt med, hvad du ville komme frem til med det første udtryk.

Der ligger altså ikke mere i det end at følgende udtryk er blevet brugt: φ = ω_n· t?

#2

Tak, men jeg gik nok mere efter svaret fra #1 :-)

Sluttelig står der:

"Ved at anvende summen som en løsning og differensen som en anden løsning elimineres den imagenære del, og den klassiske og reelle løsning (til x_1,2 = cos(ω_n t) ± isin(ω_n t)) er herefter:

x(t) = A cos(ω_n t) + B sin (ω_n t)"

Jeg forstår ikke, hvorfor man ser bort fra den løsning med et minus mellem de to led. Hvad er det helt præcist, der bliver sagt i teksten ovenfor funktionen?

Anyone?

#4

To lineært uafhængige løsninger er funktionerne

x₁ = cos(ω_n t) + isin(ω_n t)    og   x₂ = cos(ω_n t) - isin(ω_n t) .

Enhver løsning til differentialligningen kan findes som en linearkombination af x1 og x2 .

Således er

y₁ = (x₁ + x₂) / 2    og    y₂ = (x₁ - x₂) / (2i)

også to lineært uafhængige løsninger til differentialligningen, og disse to løsninger er reelle.

#6

Beklager, men det slog altså helt fra efter sætningen "Enhver.."

Kan det skrives på en anden måde eller give et eksempel? Du snakker lige pludselig om en differentialligning, som jeg ikke kan genfinde nogen steder?

#7

Jeg havde antaget, at det drejede sig om løsninger til en 2.-ordens differentialligning. Det var specielt motiveret af din forklaring i #4.

Men hvad er så funktionerne

x_1,2 = cos(ω_n · t) ± isin(ω_n · t)

løsninger til i din problemstilling?

Sådan vil det altid blive, når du springer midt ud i et spørgsmål uden at gøre dig den ulejlighed at forklare nærmere om baggrunden for dit spørgsmål.

#8

Okay, går jeg helt tilbage i teorien, er der en differentialligning som x_1,2 er løsningen til.

Ud fra #6, må y₁ og y₂ også være funktioner, idet x₁ og x₂ er det. Så langt så godt!

.. og det sidste:

Hvordan kan du afgøre, at løsningenerne er reelle og ikke imaginære?

#9

Det bør du kunne se let. I summen (x₁ + x₂) indgår kun cos(ω_n t) , der er reel, hvis ω_n og t er reelle. I differensen (x₁ - x₂) indgår kun i·sin(ω_n t) , der divideret med i er reel, hvis ω_n og t er reelle.

#10

Smart!

Nu kan jeg følge din tankegang, men jeg har ærlig talt aldrig hørt om y₁ og y₂ i #6 før i undervisningen. Har du et sted, hvor jeg kan læse mere om det? Og ser formlerne for y₁ og y₂ altid sådan ud?

#11

Idet

e^iφ = cos(φ) + i·sin(φ) ,   og

e^-iφ = cos(φ) - i·sin(φ) ,

gælder der jo, at

cos(φ) = (e^iφ + e^-iφ) / 2 , og

sin(φ) = (e^iφ - e^-iφ) / (2i) .

Dette er de velkendte formler, der inspirerer til definitionerne for de hyperbolske funktioner

cosh(z) = (e^z + e^-z) / 2 , og

sinh(z) = (e^z - e^-z) / 2 ,

og man ser, at

cosh(iz) = cos(z)   og   sinh(iz) = i·sin(z) .

Jeg ved ikke, hvad du mener med om formlerne for y₁ og y₂ altid ser sådan ud.

#12

Med det mener jeg, hvis jeg har en løsning x_1,2 (med komplekse tal som i #8) til en differentialligning, er formlerne y₁ og y₂ altid gældende? Og den eneste forskel mellem løsning x_1,2 med komplekse tal og almindelige tal er, at jeg i y₂ enten divderer med 2i eller 2?

#13

Hvis x₁ og x₂ er to løsninger til en lineær differentialligning, er enhver linearkombination

y = λ₁·x₁ + λ₂·x₂

også en løsning til differentialligningen. Det afhænger af differentialligningen og løsningerne x₁ og x₂, hvilke linearkombinationer det er hensigtsmæssigt at danne.