2^n+1 er et primtal. Bevis 2^r???

Alright, så lad os prøve at forstå hvad der bliver skrevet i spørgsmålet.

De postulere at 2^(n)+1 er et primtal, hvor n er et naturligt tal, så er n=2^(r).

Altså skal du vise, at hvis 2^(n)+1 er et primtal, så er n lig med 2^(r).

Hvis du læser teksten nedenunder kan du jo se at det er Fermat-primtal, som de omtaler, hvilket også giver formen, thi n=2^(r) => 2^(2^(r))+1 er et primtal, ikke sandt?

Håber det kan hjælpe lidt på vej.

¨Der er jo givet et tip om en sætning der skal bevises. Dette kan nemt gøres ved at gange parentesen ud og skriv resultatet op på en passende måde. En god måde er at du først ganger de 2k ind i den lange parentes og skriver den på en række. Dernæst ganger du de 1 på den lange parentes og skriver den nedenunder. Det viser sig at du får en teleskopisk sum

Jeg er enig med peter lind #3: Start med at bevise hjælpesætningen (led går parvist ud).

Hjælpesætningen siger, at når m er ulige, så er 2^km+1 sammensat, altså ikke et primtal.

Hvis m var lige, kunne m skrives som et naturligt tal, lad os kalde det t, gange 2, altså m=2t.
Med m lige er 2^km  = 2^k2t =2^{2^(kt)}

Skal jeg bevise at 2^n+1 er et primtal?

eller at n=2^r

Forstår ikke hvad opgaven går ud på.

Jeg kan ikke se hvordan det går ud med hinanden?

2^km+1=(2^k+1)(2^km-k - 2^km-2k  + 2^km-3k - 2^km-4k + .... +1)

gange ind med 2^k : (2^km-k+k - 2^km-2k+k  + 2^km-3k+k - 2^km-4k+k + .... +1)

Dernæst gange ind med 1: (2^km-k+k - 2^km-2k+k  + 2^km-3k+k - 2^km-4k+k + .... +1) .. Det giver vel bare det samme??

Du skal vise at hvis 2ⁿ+1 er et primtal så er n en potens af 2. Det kan også formuleres som: Hvis n indeholder et ulige primtal så er 2ⁿ+1 ikke et primtal

2^k*(...) =  2^km -  2^km-k + 2^km-2k  - 2^m-k .... -2^2k+2^k

1*(....) =        + 2^km-k -  2^km-2k + 2^km-3 ....     -2^k+1

Se på fortegnene på de enkelte led. Led med samme potens har modsat fortegn så de går ud mod hinanden

Kan man så sige det:

Dette bevises vha kontraposition, 
dvs: non (n af formen 2^r) -> non (2ⁿ+1 er et primtal)

Antag at n ikke er på formenen 2^r, dvs n har ulige divisor. 

Bevis (vinket)
2^km + 1 = (2^k+1) (2^km-k - 2^km-2k  + 2^km-3k - 2^km-4k + ... +1)

2^k*(...) =  2^km -  2^km-k + 2^km-2k  - 2^{km-3k +}.... + 2^k

1*(....) =     2^km-k -  2^km-2k + 2^km-3k - ... - 2^k + 1
dvs: 2^km+1 = 2^km+1, hermed er vinket bevist. 

Antag km=n, hvor m er ulige, idet n skulle have en ulig divisor.

Har jeg ret så langt?

Og hvad mangler jeg så?

Det meste er rigtigt. d.v.s. 2km+1 = 2km+1 viser ikke noget. Det gælder jo uanset hvad.

Du viser ved direkte at gange ind at

2^km + 1 = (2^k+1) (2^km-k - 2^km-2k  + 2^km-3k - 2^km-4k + ... +1)

for m ulige og dermed at for m ulige er 2^km+1 et sammensat tal og altså ikke et primtal.

Derefter er du færdig

Jeg har bevist vinket, hvilket jeg skulle :)

Så linjen hvor der står "Antag km=n, hvor m er ulige, idet n skulle have en ulig divisor"

Burde jeg ikke skrive?

Men i stedet skrive at m er ulige og dermed er 2km+1 et sammensat tal og altså ikke et primtal

(2^k+1)(2^km-k - 2^km-2k  + 2^km-3k - 2^km-4k + .... +1)

man bliver jo nød til at vise at hverken den ene eller den anden parrentes er = 1, ellers er det vel ikke sikkert at det er et primtal

#10 Jeg er ikke klar over hvor du vil hen med det. eg tror du gør det mere indviklet end det faktisk er

#11 2^km > 0 og dermed er 2^km+1 > 1  Den lange parentes er 1 betyder at 2^km+1 = 2^k+1, hvilket kun holder for m=1