Vektor

Beregn først de halve længder af vektorerne

                     a+b og a-b

Beregn dernæst - i det af vektorerne a og b udspændte parallellogram - den spidse vinkel i trekanten med siderne
               |a|, (1/2)|a+b| og (1/2)|a-b|

.....................

herunder
                 a • b = |a| · |b| · cos(v)

Benyt
a•(- b)  =  - a•b           og             |- b|  =  |b|
Beregn først vinklen mellem  |a| og |a + b|
Dernæst vinklen mellem  |a| og |a - b|

Hvordan regner jeg de ting ud når jeg ikke har de enkle vektores koordinater ?

er lidt ny i vektorregning sammenhæng 

For at finde vinklen skal du bruge formlen  (a+b)•(a-b) = |a+b|•|a-b|*cos(v)

(a+b)•(a-b) = a•a + b•b =

|a+b|²  = a•a +b•b +2*a•b =

Alle størrelserne på højre side kender du. Udregn og sæt ind i formlen foe at finde v.

så a•a + b•b =|a|² +|b|² = 2² + 3² = 13

og a•a +b•b +2*a•b = |a|2 +|b|2 + 2*a•b = 22 + 32 + 2*5 = 23

indsat i formlen:

(a+b)•(a-b) = |a+b|•|a-b|*cos(v) => 13=23*cos(v) =>cos^-1(13/23) = v => v = 55,58º 

Kan det passe ?

se

#6. |a+b|² = 23, så |a+b| = √23. 

Du skal også beregne |a-b|.   Men metoden er rigtig

|a-b|² = a² + b² -2ab => 2² + 3² - 2*5 => 3 => |a-b| =√3

13=√3*√23*cos(v) =>

cos-1(13/√3*√23) = v =>

v = cos-1(13/√69) =>

v = 68,83º

Det ser rigtigt ud.

Min lære siger dog den skal give 127º, og deri lægger mit problem, er kommet frem til mange løsninger, men ikke i nærheden af de 127º, så er der altanative måder at regne det her ud på ?. Han vil ikke hjælpe, men siger dog at det er en øvelse i at bruge vores indtil videre lærte regneregler inde for vektorer.

Når der spørges om vinklen mellem to vektorer, menes oftest den spidse vinkel mellem vektorerne.

De to mulige vinkler er supplementvinkler, hvis sum er 180º.

Du har så
                       v_lærer + v_min = 180º

                       v_lærer = 180º - v_min = 180º - 53º = 127º

…beregnet direkte uden brug af supplementvinkler

#5 Fejl i fortegn
 

For at finde vinklen skal du bruge formlen  (a+b)•(a-b) = |a+b|•|a-b|*cos(v)

(a+b)•(a-b) = a•a - b•b = -5

|a+b|²  = a•a +b•b +2*a•b = 23

|a-b|² = 3

Løs -5 = √(3*23)*cos(v) og du får 127º

alternativ til #1
kan på A-niveau udledes:

Når v er vinklen mellem vektorerne a + b og a - b,
gælder

                                                       |b|² - |a|²    
                             cos(v) = --------------------------------
                                           √((|a|²+ |b|²)² - 4(a • b)²)

…som anvendt giver

                                                    3² - 2²    
                             cos(v) = ------------------------  = 5/√(69)
                                           √((3²+ 2²)² - 4•5²)

                             v = cos^-1(5/√(69)) = 53,0º

udledelse i detaljer