Matematik

Komplekse tal

22. september 2013 af Kachoot (Slettet) - Niveau: A-niveau

Løs ligningen for de reele tal, x og y.

( 1 + i / 1 - i )^2 + 1 / (x + i y ) = 1 + i

kvadratsætning anvendes

(1+i^2+2i / 1+i^2-2i) + 1/(x+iy) = 1+i ↔

(2i/-2i) -1-i = -1/(x+iy) ↔

-1-1-i = -1/(x+iy) ↔

Hvad gør jeg herfra?

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. september 2013 af Andersen11 (Slettet)

Start med at skrive det ordentligt med parenteser

((1+i)/(1-i))² + 1/(x+iy) = 1+i

Sætter man z = x+iy er ligingen altså

((1+i)/(1-i))² + 1/z = 1+i

og dermed

(1+i)⁴/((1+i)(1-i))² + 1/z = 1+i , eller

(1 + 4i -6 -4i +1) / 4 + 1/z = 1+i , eller

-4 /4 + 1/z = 1+i , og dermed

-1 + 1/z = 1+i , dvs.

1/z = 2+i , og så

z = 1/(2+i) = (2-i)/((2+i)(2-i)) = (2-i)/5

Svar #2
22. september 2013 af Kachoot (Slettet)

Hvor får du eksponenten 4 fra?

Hvad gør du her: z = 1/(2+i) = (2-i)/((2+i)(2-i)) = (2-i)/5

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. september 2013 af Andersen11 (Slettet)

Man forlænger jo den første brøk ((1+i)/(1-i))² med (1+i)² for at gøre nævneren reel.

For at gøre nævneren reel i brøken z = 1/(2+i) , forlænger man den med nævnerens komplekst konjugerede, dvs. med (2-i) .

Svar #4
23. september 2013 af Kachoot (Slettet)

(1+i)⁴/((1+i)(1-i))² + 1/z = 1+i

(1 + 4i -6 -4i +1) / 4 + 1/z = 1+i

Hvordan får du -6 og -4i?

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. september 2013 af Andersen11 (Slettet)

Jeg benyttede den velkendte formel

(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ .

Man kan jo også blot benytte

(1+i)⁴ = ((1+i)²)² = (2i)² = -4

Svar #6
23. september 2013 af Kachoot (Slettet)

Den formel forekommer mig desværre ikke særlig velkendt.. Kan bedre relatere til (1+i)⁴ = ((1+i)²)² = (2i)² = -4

Hvad fik du så x og y til?

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. september 2013 af Andersen11 (Slettet)

Det kan du vel aflæse af den færdige løsning i #1

z = x + iy = (2-i)/5 = (2/5) + i·(-1/5) .

Svar #8
23. september 2013 af Kachoot (Slettet)

Den metode du anvendte, vil det være den nemmeste måde at løse ligningen på?

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. september 2013 af Andersen11 (Slettet)

Jeg anvendte det, der forekom mig mest indlysende. Om andre finder det let, skal jeg ikke kunne svare på.

Skriv et svar til: Komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.