Matematik
Differentialligning 4.036
Der løber vand ned i et kar, der kan rumme 50 liter, og som har et afløb i bunden. Med V(t) betegnes mængden af vand i karret til tidspunktet t. Når V måles i liter og, t måles i sekunder, tilfredsstiller V differentialligningen V'(t) = 0.1 - a*V(t) | a > 0
Det oplyses, at karret er tomt til tidspunktet t = 0.
Bestem udtrykt ved a en forskrift for V, som funktion af t:
Skal jeg så bruge løsningsformlen y = b/a + ce^-ax og få det til at blive y=a^-0.1 + ce^-at, og så sætte y=0 og t=0 og derved finde c ?
Svar #1
01. november 2005 af sigmund (Slettet)
V'(t)+a*V(t)=0.1, a>0
Denne har (jf. "panserformlen"**) løsningen
V(t)=exp(-int(a,t))*[C+int(0.1*exp(-int(a,t)),t)]
Du bestemmer nu konstanten C ud fra oplysningen om at V(t=0)=0.
** "Panserformlen" siger at løsningen til en lineær 1. ordens differentialligning y'+p(x)*y=g(x) er givet ved y(x)=exp(-int(p(x),x))*[C+int(g(x)*exp(-int(p(x),x)),x)]
PS: I ovenstående betyder int(g(x),x) det ubestemt integral af g(x) mht. x.
Svar #2
01. november 2005 af Mads123 (Slettet)
Men så kommer spørgsmålet
Bestent lim t->uendelig for v(t) udtrykt ved a, og bestem de værdier af a, for hvilke karret aldrig bliver fyldt:
Hvordan gør jeg det, for jeg kan vel ikke bare sætte et stort tal ind på t's plads og så afrunde det lidt for a?
Svar #3
01. november 2005 af Epsilon (Slettet)
http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/2001/2000-8-5Vmh.pdf
(opgave 6a)
#2:
Forskriften er korrekt. Med henblik på at besvare det sidste spørgsmål kunne det være en anelse mere suggestivt at skrive
V(t) = (0,1/a)*(1 - exp(-a*t))
Brug din viden om eksponentialleddet exp(-a*t), a > 0, for t -> infty, til at bestemme grænseværdien
lim V(t)
t -> infty
Karret vides at kunne rumme 50L ifølge opgaveteksten. Hvilken betingelse skal da være opfyldt for at sikre, at karret aldrig bliver fyldt?
//Epsilon
Svar #4
02. november 2005 af Mads123 (Slettet)
lim V(t)
t->infty vil gå mod 0,1/a
Og de værdier for a, hvor karret aldrig bliver fyldt op, er så a = ]0,002;0[ ?
Svar #5
02. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Grænseværdien er lig 0,1/a;
lim V(t) = 0,1/a (*),
t -> infty
Vær påpasselig med formuleringen. Grænseværdien går ikke mod noget; det udsagn er knyttet til funktionen V, hvilket notationen
V(t) -> 0,1/a for t -> infty
i øvrigt kort og præcist udtrykker (helt ækvivalent med (*)).
Du kan vist godt se, at dette
"a = ]0,002;0["
notationsmæssigt er det rene nonsens. Men ellers har du næsten fat i det rigtige. Den formelle betingelse for, at karret aldrig bliver fyldt, må være
lim V(t) =
t -> infty
Grænseværdien 50 medregnes, idet den udtrykker, at karret netop fyldes efter uendelig lang tid, ergo: aldrig. Kun hvis
lim V(t) > 50,
t -> infty
vil karret fyldes inden for en endelig tidshorisont.
Af (*) og (**) får vi dermed, at
0,1/a =< 50 <=> a >= 0,002
sikrer, at karret aldrig bliver fyldt.
//Epsilon
Svar #6
02. november 2005 af Mads123 (Slettet)
Har dog en til, jeg er lidt i tvivl med.
http://img261.imageshack.us/img261/1554/mat7fn.jpg
Egentlig er jeg ikke så meget i tvivl med opgaven, men mit resultat virker bare forkert. Det er den sidste i 7.067.
Den ligger op til at man skal finde et maximum, men jeg finder ikke noget, så får resultatet til at være V(0). Er det rigtigt? (hvis det er besværligt at tjekke, er det ikke nødvendigt).
Skriv et svar til: Differentialligning 4.036
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.