Basis for polynomie

Prøv at faktorisere polynomierne

4-x

4-x² = (2-x)·(2+x)

8-2x = 2·(4-x)

16-8x+x² = (4-x)²

12 -7x +x² = (3-x)(4-x) = (4-x)² -(4-x)

#0 polynomierne er begrænset af at P(4) = 0, så det er et 2-dimensionalt vektorrum

#2 Kan du forklare hvordan det giver mening? :)

Jeg har valgt to af polynomierne: 12-7x+x^2 og og 16-8x+x^2.

Jeg har taget deres koordinator mht. monomiebasen og opstillet et homogent ligningssystem.
Dette ligningssystem sætter jeg så på trappeform - hvis jeg kun for nulløsninger, må de være lineært uafhængige og udgører en base. Er jeg på rette spor eller er det helt galt? 

Vektorrummet er af dimension 3. Man kan let vise, at de tre vektorer

b₁(x) = 4-x , b₂(x) = 4-x² , b₃(x) = (4-x)²

er lineært uafhængige.

Bemærk, at vektorrummet P₂(R) også indeholder polynomier af 1. grad.

De to resterende funktioner i forslaget er skrevet som linearkombinationer af b₁, b₂, b₃ i #1.

OK! Jeg fangede dén!

Tusind tak for hjælpen!

b₂(4) ≠ 0 så det ligger ikke i U

P2(R) er et 3-dimensionalt vektorrum U er et underrum af P2(R) og har derfor en lavere dimension

En anden måde at sige det på

p(x) = a*x²+b*x+c

Der skal gælde p(4) = 0  så koefficienterne er knyttet sammen af a*16+b*4+c=0. Had du 2 af koefficienterne kan du så beregne den tredje

#6

Ja, det er korrekt. Jeg havde tænkt på en basis for P₂(R), ikke for U. Jeg beklager fejlen. b₁, b₂, b₃ er en basis for hele vektorrummet P₂(R), men ikke for underrummet U.

Så er jeg helt tabt igen.... Det giver fint mening, at underrummet af P2(R) har en lavere dimension, men hvad menes der med, at jeg skal finde en af koefficienterne?

Jeg har fundet de fire af polynomierne, der opfylder P(4)=0.

Skal jeg blot vælge to a polynomierne og vise at de er lineært uafhængige? For så er min fremgangsmåde vel rigtig, bortset fra at jeg kun skal vælge 2 og ikke 3 polynomier.

#8

Fire af de fem poynomier

p₁(x) = 4-x

p₂(x) = 4-x² = (2-x)·(2+x)

p₃(x) = 8-2x = 2·(4-x) = 2p₁(x)

p₄(x) = 16-8x+x² = (4-x)² 

p₅(x) = 12 -7x +x² = (3-x)(4-x) = (4-x)² -(4-x) = p₄(x) - p₁(x)

er vektorer i underrummet U..Mulige vektorpar som basis for U er (p₁,p₄) , (p₁,p₅) , (p₃,p₄) , (p₃,p₅), og (p₄,p₅) .

#8 Du skal ikke finde koefficienterne. Det er kun taget med for at vise at dimensionen af U er to.

Fint nok, så var min fremgangsmåde rigtig :)

Tak for hjælpen :)