Matematik
Kompleks tal
Betragt det komplekse tal z0= 2eiPi/6
a) Bestem det komplekse tal både på polær form og på formen x+iy.
svar:
-8+8kvadratrod(3)i
b) Bestem samtlige komplekse tal z, der løser 4. grads ligningen:
z4=w
Man skal bruge følgende formel til at beregne vinklerne:
tethazn= pi/6 + pi*n/2
Vinklerne har jeg beregnet til følgende:
tethaz1=2/3Pi
tethaz2 = 7/6 pi
tethaz3= 5/3 pi
tethaz4= 13/6 pi
men når jeg skal beregne løsningerne får nogle resultater der ikke giver mening.
Jeg har brugt følgende formel til at finde løsnignerne:
zn=nkvadratrod(r)*(cos(theta/n)+i*sin(theta/n))
z1= kvadratrod(3) + i
z2= 2*cos(55pi/24)+2*sin(7pi/24)i
Det bliver endnu være når jeg beregner de to sidste løsninger?
Er der nogen der kan hjælpe med at finde fejlen?
Svar #2
11. november 2013 af Andersen11 (Slettet)
Hvis z0 = 2·eiπ/6 er den rektangulære form ikke korrekt.
z0 = 2·eiπ/6 = 2·(cos(π/6) + i·sin(π/6)) = 2·(√3)/2) + 2·i·(1/2) = (√3) + i .
Måske er det w = z04 , hvis rektangulære form findes:
w = z04 = 24·ei·4π/6 = 24·ei·2π/3 = 24·(cos(2π/3) + i·sin(2π/3)) = 24·(-(1/2) + i·(√3)/2) = -8 + 8·(√3)·i .
Man skal så løse ligningen
z4 = w = z04 , dvs
z4 - z04 = 0 , eller
(z2 + z02)·(z2 - z02) = 0 , eller
(z + iz0)·(z - iz0)·(z + z0)·(z - z0) = 0
og benyt nu nulreglen til at aflæse de fire rødder.
Svar #3
11. november 2013 af Andersen11 (Slettet)
Man kan også løse ligningen
z4 = z04
ved at omskrive den til
(z / z0)4 = 1
der har de fire 4. enhedsrødder som løsninger, dvs
z / z0 = ei·(2π/4)·n , n = 0, 1, 2, 3 ,
helt i overensstemmelse med resultatet i #2, dvs
z = ±z0 ∨ z = ±i·z0 .
Skriv et svar til: Kompleks tal
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.