Matematik
Krumning
09. november 2005 af
Sabrina (Slettet)
Hej!
Jeg har tre spørgsmål om krumning, som jeg virkelig har svært ved at forstå (men prøver ihærdigt).
Jeg har ganske vist allerede et indlæg, som er forholdsvis nyt med nogle matematiske spørgsmål, men da disse alle omhandler krumning, fandt jeg det naturligt at oprette et nyt indlæg.
1) Hvordan kan man se, om en kurve er hhv. konveks eller konkav i et punkt uden at beregne krumningen og derefter se på dens fortegn?
2) I forbindelse med krumning indføres begrebet enhedsnormalvektor. Man finder frem til denne størrelse ved at differentiere enhedstangentvektoren mht. buelængden. For at gøre det bruges kædereglen, hvor man diffeentiere igennem vinklen phi: dt/d phi * d phi/ds. Jeg forstår ike, hvordan vi kan differentiere phi med buelængden, når phi slet ikke afhænger af buelængden?
3) Vi har vinklen phi, som dannes af tangenten til kurven og en linie parallel med x-aksen, og som går gennem røringspunktet for tangenten og kurven. Hvorfor gælder at tan (phi) = dy/dx ?
Jeg har tre spørgsmål om krumning, som jeg virkelig har svært ved at forstå (men prøver ihærdigt).
Jeg har ganske vist allerede et indlæg, som er forholdsvis nyt med nogle matematiske spørgsmål, men da disse alle omhandler krumning, fandt jeg det naturligt at oprette et nyt indlæg.
1) Hvordan kan man se, om en kurve er hhv. konveks eller konkav i et punkt uden at beregne krumningen og derefter se på dens fortegn?
2) I forbindelse med krumning indføres begrebet enhedsnormalvektor. Man finder frem til denne størrelse ved at differentiere enhedstangentvektoren mht. buelængden. For at gøre det bruges kædereglen, hvor man diffeentiere igennem vinklen phi: dt/d phi * d phi/ds. Jeg forstår ike, hvordan vi kan differentiere phi med buelængden, når phi slet ikke afhænger af buelængden?
3) Vi har vinklen phi, som dannes af tangenten til kurven og en linie parallel med x-aksen, og som går gennem røringspunktet for tangenten og kurven. Hvorfor gælder at tan (phi) = dy/dx ?
Svar #2
07. februar 2006 af Sabrina (Slettet)
Du er da over det hele :)
Jeg har selv fundet svaret på spg 3, men de to andre kniber det stadig med at forstå.
Jeg har selv fundet svaret på spg 3, men de to andre kniber det stadig med at forstå.
Svar #3
08. februar 2006 af fixer (Slettet)
ad 1)
Når man i hovtræk skal bestemme formen af en plan kurve k, givet ved parameterfremstillingen
OP = r(t), t E I
hvor r tilhører funktionsklassen C²[I], er planproduktet
D(t) = [r'(t) r''(t)]
som er bestemmende for krumningens fortegn, af afgørende betydning. Det er derfor ikke nødvendig direkte at beregne krumningen, som jo er givet ved
kappa = [r'(t) r''(t)]/|r'(t)|³
Konveksitet og konkavitet afgøres alene af fortegnet af D.
ad 2)
Du ikke defineret hvad du mener med phi, men du mener sikkert tangentdrejningen.
Grundlæggende er krumning defineret som følger (en figur ville her være hjælpsom, men den må du undvære).
Lad P være et punkt på en plan differentiabel kurve og p den orienterede tangent til kurven i dette punkt. Et punkt Q på kurven antages at konvergere mod P (d.v.s. vi "flytter" det gradvist langs kurven hen mod P), hvorved den orienterede tangent q i Q konvergerer mod p. Buelængden PQ = ds og den numerisk mindste vinkel mellem p og q, kaldet v, vil da begge konvergere mod nul. Ved kurvens krumning kappa i punktet P forstås grænseværdien
kappa = lim[ds->0](v/ds)
Kurven har kun en krumning i P såfremt grænseværdien eksisterer.
Lad nu theta = f(s) betegne et kontinuert varierende måltal for vinklen fra en fast retning i planen til den orienterede tangent p og lad os regne buelængden s fra et punkt P0 på kurven. Sætter vi v = dtheta ses at kurven har en krumning i P hvis og kun hvis f er differentiabel i dette punkt og man har da
kappa = f'(s) = dtheta/ds
Specielt kan man som fast retning vælge retningen af den orienterede tangent p0 i punktet P0. Vinklen mellem p0 og p, der kaldes kurvens tangetdrejning fra P0 til P, betegnes phi. Man har derfor også
kappa = f'(s) = dphi/ds
som kaldes kurvens naturlige ligning.
Som det ses afhænger tangentdrejningen altså af buelængden [hvilket du lynhurtigt kan overbevise dig om på en figur].
Når man i hovtræk skal bestemme formen af en plan kurve k, givet ved parameterfremstillingen
OP = r(t), t E I
hvor r tilhører funktionsklassen C²[I], er planproduktet
D(t) = [r'(t) r''(t)]
som er bestemmende for krumningens fortegn, af afgørende betydning. Det er derfor ikke nødvendig direkte at beregne krumningen, som jo er givet ved
kappa = [r'(t) r''(t)]/|r'(t)|³
Konveksitet og konkavitet afgøres alene af fortegnet af D.
ad 2)
Du ikke defineret hvad du mener med phi, men du mener sikkert tangentdrejningen.
Grundlæggende er krumning defineret som følger (en figur ville her være hjælpsom, men den må du undvære).
Lad P være et punkt på en plan differentiabel kurve og p den orienterede tangent til kurven i dette punkt. Et punkt Q på kurven antages at konvergere mod P (d.v.s. vi "flytter" det gradvist langs kurven hen mod P), hvorved den orienterede tangent q i Q konvergerer mod p. Buelængden PQ = ds og den numerisk mindste vinkel mellem p og q, kaldet v, vil da begge konvergere mod nul. Ved kurvens krumning kappa i punktet P forstås grænseværdien
kappa = lim[ds->0](v/ds)
Kurven har kun en krumning i P såfremt grænseværdien eksisterer.
Lad nu theta = f(s) betegne et kontinuert varierende måltal for vinklen fra en fast retning i planen til den orienterede tangent p og lad os regne buelængden s fra et punkt P0 på kurven. Sætter vi v = dtheta ses at kurven har en krumning i P hvis og kun hvis f er differentiabel i dette punkt og man har da
kappa = f'(s) = dtheta/ds
Specielt kan man som fast retning vælge retningen af den orienterede tangent p0 i punktet P0. Vinklen mellem p0 og p, der kaldes kurvens tangetdrejning fra P0 til P, betegnes phi. Man har derfor også
kappa = f'(s) = dphi/ds
som kaldes kurvens naturlige ligning.
Som det ses afhænger tangentdrejningen altså af buelængden [hvilket du lynhurtigt kan overbevise dig om på en figur].
Skriv et svar til: Krumning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.