løsning af differentialligningen y´´=b * y´+k

Med z = y' får du en  første ordens lineær differentialligning:

z' =  b z + k, som har løsningen: z = c exp(bx) - k/b.

[sæt q = z + k/b ⇒ q' = z' = b z + k = b q ⇒ q = c exp(bx) og dermed z = c exp(bx) - k/b.]

Løs dernæst y' = z ved integration

den fik jeg ikke lige fat i, vil du ikke være venlig og uddybe lidt mere :)

#2

Den oprindelige differentialligning er en lineær differentialligning af 1. orden i den afledede y' . Sætter man z(x) = y'(x), antager ligningen formen

z' = bz + k ,

der let løses ved separation af de variable

z' = b(z + k/b)

dz/(z+k/b) = b dx

ln(z+k/b) = bx + c

z(x) + k/b = c·e^bx ,

og dermed

y(x) = ∫ (c·e^bx - (k/b)) dx

tak for det, det var mere forstålig