Matematik
Fibonacci-opgave SRP
Hej allesammen
Sidder her med min SRP, som handler om Fibonacci, og er lidt tom for idéer mht. en af opgaverne.
Opgaven lyder således:
Definer den generaliserede Fibonaccifølge (H_n), og vis at der gælder (se vedhæftet fil)
Håbede på, at i kunne give mig et hint, så jeg kan komme igang, da jeg ikke ved, hvad jeg skal starte med...
mvh. kfrandsen
Svar #1
11. december 2013 af lfdahl (Slettet)
Den generaliserede Fibonaccifølge defineres ved at vælge to tilfældige naturlige tal p og q som startværdier for rækken:
H1 = p, H2 = q, H3 = q + p, H4 = 2q + p, H5 = 3q + 2p, H6 = 5q + 3p .... o.s.v.
Generelt: Hn+2 = Hn+1 + Hn, for n = 1,2,3, ...
(*). Hn+2 = q Fn+1 + p Fn, hvor p,q ∈ N og Fn+2 = Fn+1 + Fn, for n = 1,2,...
F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, ... o.s.v.
Det skal nu vises, at: Hn+2 = q Fn+1 + p Fn (*).
For n = 1: H3 = q F2 + p F1 = q + p → OK
For n = 2: H4 = q F3 + p F2 = q·2 + p → OK
Antag nu at formlen (*) gælder for n. Vis at så gælder den også for n+1, d.v.s vis at så gælder der:
Hn+3 = q Fn+2 + p Fn+1
Hn+3 = Hn+2 + Hn+1 [Har anvendt definitionen for Hn]
⇒ Hn+3 = q Fn+1 + p Fn + Hn+1 [Har indsat udtrykket (*). for Hn+2]
⇒ Hn+3 = q Fn+1 + p Fn + q Fn + p Fn-1 [Har indsat udtrykket for Hn+1]
⇒Hn+3 = q(Fn+1 + Fn) + p(Fn + Fn-1) [Har samlet q leddene for sig og p leddene for sig]
⇒Hn+3 = q Fn+2 + p Fn+1 q,e.d. [Har anvendt definitionen for Fn]
Skriv et svar til: Fibonacci-opgave SRP
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.