Løsning af differentialligning for pendulsving

Man ender normalt med differentialligningen

d²θ/dt² = -(g/L)·sin(θ) .

Ved at benytte energibetragtninger kan man udlede en anden ligning. Antag, at vi starter pendulet med hastighed 0 i højden h₀ over midterpositionen, med vinklen θ₀ i forhold til midterpositionen, hvor højden h er lig med 0. Til et senere tidspunkt, hvor højden er h og farten er v har man da

mg·(h₀-h) = (1/2)mv² 

eller

v = √(2g(h₀ - h) .

Desuden har man

v = L·|dθ/dt| ,

hvorfor

|dθ/dt| = v/L = (1/L)·√(2g(h₀ - h) = (1/L)·√(2g·(L-Lcos(θ₀) -(L-L·cos(θ)))

          = √((2g/L)·(cos(θ)-cos(θ₀))

I et vist tidsrum vil dθ/dt være ≥ 0 , og man har da ligningen

dθ/dt = √((2g/L)·(cos(θ)-cos(θ₀)) ,

der kan betragtes som et integral til differentialligningen af 2. orden. Betragter man den omvendte funktion t(θ) har man da differentialligningen

dt/dθ = √(L/(2g)) · 1/√(cos(θ)-cos(θ₀)) ,

der umiddelbart kan løses ved kvadratur. Man finder da heraf udtrykket for svingningstiden T

T = 4·√(L/(2g)) · ₀∫^θ₀ 1/√(cos(θ)-cos(θ₀)) dθ ,

der kan udtrykkes ved kendte elliptiske integraler.

Undskyld jeg bliver nødt til at spørge, men hvordan fungere dette Kvadratur? :)

#3

Kvadratur betyder blot beregning af et integral. Differentialligningen

y '(x) = g(x)

hvor g(x) er en kendt funktion, er en af de simplere differentialligninger, hvis fuldstændige løsning består af stamfunktionerne til g(x):

y(x) = _x0∫^x g(ξ) dξ  .

Man siger her, at løsningerne er fundet ved kvadratur af kendte funktioner.

Tusind tak! Det hjalp virkelig meget!!