Kritiske punkter

Fremgangsmåden er korrekt, men du har ikke løst ligningssystemet ordentligt. Du har ikke fundet alle løsningerne. 2-gradsligningen y² = -(1/2)y har to forskellige løsninger.

#0

Det ene punkt, du har fundet, er heller ikke korrekt, for du har byttet om på x og y. Man angiver sædvanligvis punkterne som (x,y), dvs. med x-koordinaten på 1.-pladsen og y-koordinaten på 2.-pladsen.

#1

a) Det er korrekt, Andersen. y er enten lig med 0 eller -1/2.

b) Dermed er x enten lig med 0 eller -3/4.

Hvilken værdi skal man vælge i a og b? Det gør, at de kritiske punkt enten er (0, 0) eller (-3/4 , -1/2). 

#3

Jeg forstår ikke dit sidste spørgsmål. Der er to løsninger til ligningssystemet

∂f/∂x = 0  og  ∂f/∂y = 0

nemlig (x,y) = (0 , 0) og (x,y) = (-3/4 , -1/2) .

Man løser ligningssystemet

∂f/∂x = 0  ∧  ∂f/∂y = 0 ⇔

2x - 3y = 0 ∧ y² +2y -x = 0 ⇔

x = (3/2)y ∧  y² + (1/2)y = 0 ⇔

x = (3/2)y ∧ y·(y + (1/2)) = 0 ⇔

x = (3/2)y ∧ [ y = 0 ∨ y = -1/2 ] ⇔

[ x = 0 ∧ y = 0 ] ∨ [ x = -3/4 ∧ y = -1/2 ]

De to løsninger til ligningsystemet giver to sæt af kritiske punkter, ikke? Tak for din støtte indtil nu.

#5

De to løsninger giver koordinatsættene til de to kritiske punkter som angivet i #4, nemlig

      (x,y) = (0 , 0)   og   (x,y) = (-3/4 , -1/2) .

Der er ikke tale om to sæt af kritiske punkter, men om to kritiske punkter.

Det er godt.

Hvordan bestemmer man typen af de kritiske punkter for f(x,y)?

Man skal finde de partielle afledede af anden orden. Hvis f''_'xx(x₀,y₀)*f''_yy(x₀,y₀) -f''_xy(x₀,y₀) > 0 i punktet er der ekstremum i punktet. Er resultatet 0, skal der videre undersøgelser til. Er det negativt er der ikke ekstremum

#8

Dette gøres ved brug af 2. - afledte - testen.

Find den anden afledte mht. x af f(x,y) (A)

Find den anden afledte mht. y siden x af f(x,y) (B)

Find den anden afledte mht. y af f(x,y) (C)

Udregn:

B² - AC (*)

Der gælder:

B² - AC < 0 og A > 0 : Lok. min.

B² - AC < 0 , A < 0: Lok. maksimum.

B² - AC > 0 : Saddelpunkt

Kan det passer at der er to saddelpunkter ?

med 

D(0,0)=0^2-2*6*0+6=6 , idet at D>0 er det kritiske punkt (0,0) et saddelpunkt.

D(-3/4,(-1)/2)=0^2-2*6*(-1)/2+6

D(-3/4,(-1)/2)=12/2+6=12 som også er et saddelpunkt ? 

Jeg fik at;

f_xx (x_0,y_0 )   =2 
f_xy (x_0,y_0 )   =0
f_yy (x_0,y_0 )  = 6y+6

#11

Man har

∂f/∂x = 2x - 3y   og  ∂f/∂y = 3y² +6y -3x ,

hvoraf findes

∂²f/∂x² = 2  ,  ∂²f/∂x∂y = -3   ,  og ∂²f/∂y² = 6y + 6

I punktet (0 , 0) haves derfor

D = ∂²f/∂x² · ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² = 2·6 - (-3)² = 3 , dvs. lokalt minimum.

I punktet (-3/4 , -1/2) er  ∂²f/∂y² = 3 , og her haves

D = 2·3 - (-3)² = 6 - 9 = -3 , dvs. et sadelpunkt.

Hvilke regler er disse? det er ikke de samme som bruges i #10 :) og tak for hjælpen har set min fejl

#13

Ja, det gør en forskel, om man bruger

D = ∂²f/∂x² · ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)²

eller

-D = (∂²f/∂x∂y)² - ∂²f/∂x² · ∂²f/∂y²

Hvordan kan det være at min bog angiver D, på samme måde som i svar 10 ? Jeg kan simplethen ikke få det samme resultat får begge punkter til at være saddelpunkter.

#15

Med den definition, som er definitionen for -D i #14, har man så

i (0,0):            B² - 4AC = (-3)² -2·6 = -3, og A > 0 , dvs. lokalt minimum.

i (-3/4 , -1/2): B² - 4AC = (-3)² -2·3 = 3 , dvs. et sadelpunkt.

Jeg laver bare nogn dumme fejl, skal blive bedre til hovedregning hahahah