Matematik
Taylor-række i (x-2) for 1/(3-x)
Jeg skal beregne begyndelsen af Taylor-rækken for f(x) = 1/(3-x) i (x-2)
Jeg benytter, at en vilkårlig funktion kan repræsenteres ved summen af følgende potensrække
p(x) = Σn=0∞ f(n)(a)/n!*(x-a)n
Ved differentiation af funktionen fremtræder et mønster
f(1)(x) = 1/(x-3)2
f(2)(x) = -2/(x-3)3
f(3)(x) = 6/(x-3)4
så den n'te afledede f(n)(a) er
f(n)(a) = (-1)n+1 n!/(a-3)n+1
Dette kan jeg så indsætte i formlen for Taylorpolynomiet og sætte a = x-2. Jeg får dog ikke det samme som facitlisten, som siger
1 + (x-2) + (x-2)2
Hvad har jeg gjort forkert? Og er der en nemmere måde at løse dette på?
Svar #2
14. januar 2014 af placebo321 (Slettet)
Ok. Det synes, jeg er lidt underligt, når der står, at jeg skal finde det i (x-2)
I min bog, er der et eksempel hvor taylorrækken for f(x) = ex skal findes i a = 2. Her står det jo eksplicit. Hvordan ser du, at a = 2, når der står det er i x-2?
Svar #3
14. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Når du skal finde rækken med (x-2) som variabel, betyder det jo, at der udvikles ud fra a = 2.
f(x) = ∑∞n=0 (f(n)(a)/n!) · (x-a)n
(forudsat at funktionen opfylder de nødvendige betingelser).
Svar #4
14. januar 2014 af placebo321 (Slettet)
Det kan godt være, jeg spørger dumt nu, men hvorfor skriver man så ikke bare, at taylorrækken for funktionen skal findes udviklet fra a = 2?
Svar #5
14. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
Det er noget af den slags, der overlades til læseren at udrede. Der er altid en vis smidighed i sprogbrugen, og det er ret oplagt, hvad der menes.
Svar #6
14. januar 2014 af placebo321 (Slettet)
Ok. Jeg får ved indsættelse af a = 2 i mit udtryk for den n'te differentierede i a, at
f(n)(2) = (-1)n+1*n!/(-1)n+1 = (-1)n+1 * (-1)-(n+1) * n! = n!
som ved indsættelse i den generelle formel giver
f(x) = Σn=0∞ n!/n!*(x-2)n = Σn=0∞ (x-2)n
Er du enig?
Og er der en smartere/hurtigere måde, at finde lave opgaven på?
Svar #7
14. januar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Ja, det ser da rigtigt ud.
Alternativt har man
f(x) = 1 / (3-x) = 1 / (1-(x-2))
hvor man så kan benytte rækken for
1 / (1-ξ) = 1 + ξ + ξ2 + ξ3 + ... = ∑∞n=0 ξn
med ξ = (x-2) .
Skriv et svar til: Taylor-række i (x-2) for 1/(3-x)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.