DE

Differentialligningen er

-μ·dx/dt + mg = m·d²x/dt² .

Der er tale om en første ordens lineær differentialligning i (dx/dt), men om en 2. ordens lineær differentialligning i x .

Koefficienterne ser ud til at være konstante.

OK, tak for det.

Lur mig om den er nonhomogen. Den med dx/dt

#3

Jo, i begge betragtninger er differentialligningen inhomogen. Man kan benytte panserformlen til at opskrive løsningen.

Vil P(x) for venstre siden af lighedstegnet ikke være:

P(x) = mg

og for HS:

Q(x) = m·d²x/dt 

?

Det oplyses ydermere, at indholdet i den vedhæftede fil er en løsning til den første vedhæftede DE.

En verifikation af denne løsning pratiseres ved at gøre prøve, ikke? Dvs. differentierer man x(t), og bagefter indsætter den i differentialligningen hvor y' er isoleret og står alene på en vilkårlig side af lighedstegnet, vil man da få, at at VS = HS, ikke?

#5

Med u = dx/dt, kan differentialligningen skrives

du/dt + (μ/m)·u = g .

Da fås

u(t) = e^-(μ/m)t · ( ∫ e^(μ/m)t · g dt + c₁)

       = e^-(μ/m)t ·  ((m/μ)·g·e^(μ/m)t + c₁)

       = (mg/μ) + c₁·e^-(μ/m)t

og dermed

x(t) = ∫ u(t) dt = (mg/μ)·t + c₁·e^-(μ/m)t  + c₂ .

Den vedlagte løsning er en bestemt af disse løsninger.

OK, tak for det.

Det eneste der mangler her er (mg/μ) opløftet i 2. potens, ikke?

#9

Nej, det mangler da ikke. Løsningen i det vedhæftede i #6 er

x(t) = g·(m/μ)·t + g·(m/μ)²·e^-(μ/m)t - g·(m/μ)² ,

der fås af den generelle løsning i #7 ved at sætte

c₁ = g·(m/μ)² og c₂ = -g·(m/μ)²