SRO - hoppende bolde kvotientrækker

Vi ved, at den mekaniske energi bliver reduceret med 48,8% for hvert hop. Lad os prøve at finde ud af, hvor meget hoppetiden bliver reduceret:

I det øjeblik bolden forlader jorden, er den mekaniske energi ½mv₁² (den potentielle energi er 0, da h er 0). Ved næste hop er den mekaniske energi reduceret med en faktor 0,512 ( 1-0,488 ). Så vi har

½mv₂² = 0,512*½mv₁²  <=>

v₂ = v₁*√(0,512)

Så starthastigheden bliver altså reduceret med en faktor √(0,512) for hvert hop.

Lad os nu se på, hvilken betydning dette har for hoptiden:

Accelerationen er -g, så vi har

dv/dt = -g  <=>

∫_v^-v dv = ∫₀^t -gdt  (den starter med hastigheden v opad og efter t lander den med samme hastighed nedad) <=>

-2v = -gt  <=>

t = 2v/g

Hoppetiden er altså proportional med starthastigheden. Det vil sige, at hoppetiden ligeledes vil blive reduceret med en faktor √(0,512). Din række vil altså se sådan ud:

∑_i=0^∞ 0,46*(√(0,512))ⁱ

Antag, at bolden har den kinetiske energi E₁ umiddlebart efter, at den har ramt gulvet første gang.

Via formlerne E_kin = (1/2)mv² og v(t) = v₀ - gt , finder man

v₀₁ = (2E₁/m)^1/2 ,

og tiden t₁ for det første hop (hvor v(t₁) = -v₀₁) ,

t₁ = 2v₀/g = 2·(2E₁/m)^1/2 / g

Når bolden rammer gulvet igen, tabes 48,8% af den mekaniske energi (kinetiske energi), så

E₂ = 0,512·E₁ . Man har da tiden for det næste hop

t₂ = (√0,512)·t₁ .

Den samlede hoppetid er så

t = ∑ t_i = t₁·∑^∞_i=0 (√0,512)ⁱ

Tak skal du have!

Det er godt nok lidt svært at forstå, da vi ikke er nået så langt med integralregning osv. 

Jeg var også kommet frem til, at q=0.512 og a=0.46, men jeg har fundet andre, der benytter stødtallet til at beregne samlet hoppetid? De siger:

t_total= t_1*(1+e)/(1-e)

Idet det vides, at t1=højden for det første hop, e=stødtallet og n=antal led.

Det er jo i virkeligheden samme formel, bare omskrevet. stødtallet er jo også forholdet mellem h₁ og h₂,er det så ikke bare det tal, som kan indsættes som q?

Du er en engel sendt fra himlen!! Tak!!

Tak til jer begge selvfølgelig!

Hvis bare du har den formel som Andersen11 bruger, så slipper du for det med integralregningen:

v(t) = v₀ -gt

Bolden starter hoppet med starthastigheden v₀ = v_start, og vi ønsker at finde tiden t, hvor bolden rammer jorden igen, dvs v(t) = -v_start

-v_start = v_start -gt  <=>

t = 2v_start/g

# 3  sidste linje:
Det må jo så være Andersens englehop.
 

#3

t1 er tiden for det første hop. Hvis den kinetiske energi umiddelbart efter, at bolden har ramt gulvet første gang er E1, finder man den tilhørende hoppehøjde h₁ af

mg·h₁ = E₁, så

h₁= E₁/(mg) .

Forholdet mellem to på hinanden følgende hoppehøjder er så

h₂/h₁ = E₂/E₁ = 0,512 ,

mens det tilsvarende forhold mellem hoppetiderne er

t₂/t₁ = √(E₂/E₁) = √0,512 .

I opgaven skulle man finde den samlede hoppetid, så den relevante q-værdi for kvotientrækken er

q = √0,512 ,

hvilket også fremgår af #1 og #1. Den samlede hoppetid er

t = ∑ t_i = t₁·∑^∞_i=0 (√0,512)ⁱ = t₁·1/(1-√0,512) = 3,515·t₁ ,

hvor t₁ er tiden for det første hop.