Fysik
Harmoniske svingninger, differentialligning
19. november 2005 af
Trajkovski (Slettet)
Hej
Jeg er ved at skrive en fysikrapport om harmoniske svingninger.
Til det skal jeg løse følgende differentialligning:
s''(t) = -k/m*s(t)
Er det rigtigt at den korrekte løsning til det er (Omega = sqrt(k/m)):
s(t) = A * sin(omega*t + phi) + B * cos(omega*t + phi) ?
Det skal lige siges, at jeg ikke har haft om differentialligninger endnu.
Jeg skal bruge det til at argumentere for, at s(t) = A * sin(omega*t), men hvordan jeg kommer der til, ved jeg ikke, da bogen bare konkluderer på et MEGET løst grundlag.
Håber I kan hjælpe!
Med venlig hilsen
Nicolai
Jeg er ved at skrive en fysikrapport om harmoniske svingninger.
Til det skal jeg løse følgende differentialligning:
s''(t) = -k/m*s(t)
Er det rigtigt at den korrekte løsning til det er (Omega = sqrt(k/m)):
s(t) = A * sin(omega*t + phi) + B * cos(omega*t + phi) ?
Det skal lige siges, at jeg ikke har haft om differentialligninger endnu.
Jeg skal bruge det til at argumentere for, at s(t) = A * sin(omega*t), men hvordan jeg kommer der til, ved jeg ikke, da bogen bare konkluderer på et MEGET løst grundlag.
Håber I kan hjælpe!
Med venlig hilsen
Nicolai
Svar #1
20. november 2005 af fixer (Slettet)
Såfremt k>0 er din løsning den fuldstændige løsning. Dog er det unødvendigt at medtage fasen phi grundet de trigonometriske funktioners periodicitet.
Vi har altså den fuldstændige løsning
s(t)=Asin(omega*t)+Bcos(omega*t), t E R (*)
hvor A, B er arbitrære konstanter. Når (A,B) er et vilkårligt talsæt kan vi fastsætte
C=sqrt(A²+B²)
og derefter bestemme v så
B=-Csin(v) og A=Ccos(v)
Hvis C=0 er A, B begge lig 0 og v kan vælges frit; hvis C != 0 er (A/C,-B/C) en enhedsvektor og vi kan lade v betegne retningsvinklen for denne vektor.
Hermed kan (*) skrives på formen
s(t)=Ccos(v)sin(omega*t)-Csin(v)cos(omega*t)
= Csin(omega*t-v)
hvor der ved tilvejebringelsen af sidste identitet er benyttet en af additionsformlerne.
Vi har altså den fuldstændige løsning
s(t)=Asin(omega*t)+Bcos(omega*t), t E R (*)
hvor A, B er arbitrære konstanter. Når (A,B) er et vilkårligt talsæt kan vi fastsætte
C=sqrt(A²+B²)
og derefter bestemme v så
B=-Csin(v) og A=Ccos(v)
Hvis C=0 er A, B begge lig 0 og v kan vælges frit; hvis C != 0 er (A/C,-B/C) en enhedsvektor og vi kan lade v betegne retningsvinklen for denne vektor.
Hermed kan (*) skrives på formen
s(t)=Ccos(v)sin(omega*t)-Csin(v)cos(omega*t)
= Csin(omega*t-v)
hvor der ved tilvejebringelsen af sidste identitet er benyttet en af additionsformlerne.
Skriv et svar til: Harmoniske svingninger, differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.