Komplekse tal

1) Jeg formoder, at z = x + iy  ?

Så er 1/z = 1/(x+iy) = (x-iy)/((x+iy)(x-iy)) = (x-iy)/(x²+y²)

2) ja, det er z, der ikke må antage de værdier.

3) Det kommer fra r = √(x²+y²) = (x²+y²)^1/2 , så ln(r) = (1/2)·ln(x²+y²) .

#1

Kan godt se, at z ikke må være 0, så er den nemlig ikke defineret, men hvad hvis z er lig et negativt tal? Man kan da stadigvæk tage ln til et negativt tal indenfor komplekse tal?

#2

Ja, det kan man, men den principale logaritmefunktion Ln(z) er ikke analytisk på den negative reelle akse, da den er diskontinuert der.

#3

Kan se, at du referer til: Ln(z) = ln(|z|) + iArg(z).

Hvordan kan du afgøre, at den ikke er analytisk, fordi den er diskontinuert på den negative reelle akse. Kan det forklares på en simpel måde?

#4

Man kan for eksempel betragte komplekse tal på enhedscirklen med |z| = 1:

z = e^iθ , θ ∈ ]-π;π] .

Her er Ln(z) = iθ , og man ser, at

Ln(z) → -iπ for |z| = 1 og θ → -π⁺ ,

mens

Ln(z) → iπ for |z| = 1 og θ → π^- .

I begge tilfælde gælder der, at z → -1 for |z| = 1 og θ → ±π .

#5

Ja, selvom θ ikke må være -π, men hvad kom vi så frem til? Jeg kan ikke gennemskue, hvordan vi ud fra #5 kan konkludere, at Ln til et negativt tal er diskontinuert?

#6

Hvis man lader z gå mod -1 ad enhedscirklen gennem negative værdier for θ, vil Ln(z) gå mod -iπ .

Hvis man lader z gå mod -1 ad enhedscirklen gennem positive værdier for θ, vil Ln(z) gå mod iπ .

For enhver omegn omkring det komplekse tal -1 kan man finde to værdier z₁ og z₂, der kan ligge vilkårligt tæt, mem hvor, for eksempel |Ln(z₁) - Ln(z₂)| > 1 . Det viser, at funktionen Ln(z) ikke er kontinuert i z = -1 . Funktionen kan derfor heller ikke være analytisk i z = -1 .

#7

Sorry, men hvordan går f.eks. Ln(z) mod -iπ, når z går mod -1?

#8

Ved for z = e^iθ at lade θ gå mod -π fra højre; da går Ln(z) mod -iπ .

Lader man for z = e^iθ  θ gå mod π fra venstre, vil Ln(z) gå mod iπ .

#9

Okay, det kunne jeg se ud fra ln(e^z) = z ± 2nπi.

Hvordan kan længden give et tal, der er større end 1? Hvad skulle resultatet være for, at Ln(z) var kontinuert? Det er nok begrebet kontinuitet indenfor komplekse tal, der driller.

Benyt definitionen for kontinuitet i z₀:

∀ε ∈ R₊ ∃δ ∈ R₊ : ∀z: |z - z₀| < δ ⇒ |f(z) - f(z₀)| < ε

Hvis Ln(z) skulle være kontinuert for z₀ = -1 , skulle de to grænseværdier fra højre og fra venstre være den samme.

#11

Okay, der stod jeg af. Jeg kender ikke nogle af symbolerne i #11, men efterfølgende tekst gav god mening. Men hvad er det du ville komme frem til med, at længden kunne give større end 1?

Og hvad med f.eks., hvis vi kiggede på z = 5, eller en skrå linje, der har formen z = 1 + 2i. Hvordan ville man så gribe det an - hvis man skulle se, om de var kontinuerte - uden at bruge definitionen i #11 (som jeg ikke har hørt før)?

#12

Det er kun på den negative reelle akse, at Ln(z) er diskontinuert.

Du angiver niveauet til Universitet/Videregående, så jeg gik ud fra, at du kender til de grundlæggende begreber.

#13

Okay, men den teori kender jeg desværre ikke til.

Det med at tilnærme en z-værdi som i #5 og #7, kunne man ikke vise det for f.eks. z = 5? Om man så kigger fra den ene side eller den anden side, så har de en fælles vinkel på 0. Hvad med z = 1 + 2i? Kan man ikke "bare lige" gøre det på samme måde med den?

#14

Den komplekse logaritme er kun diskontinuert for negative reelle tal.

Se for eksempel denne artikel http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm . Et stykke nede i artiklen gives et plot af Riemann-fladen, der repræsenterer funktionen. Den illustrerer dette spørgsmål.

#15

Jeg har en fornemmelse af, at jeg bevæger mig langt ud over det jeg spurgte ind til.

Til sidst: hvordan vil du oversætte hhv. branch og branch cut?

Og tak for hjælpen.

#16

Man kunne kalde det en gren.