Komplekse tal

1) Gang eksponenten ud:

(2 - i) {ln(√2) + iπ/4 ± i2nπ} = 2·ln(√2) +(π/4) ±2nπ + i(-ln(√2) + π/2 ±4nπ)

                                        = ln(2) +(π/4) ±2nπ + i(-(1/2)·ln(2) + π/2 ±4nπ)

Benyt så, at cos og sin er periodiske med perioden 2π , så

e^{(2 - i) {ln(√2) + iπ/4 ± i2nπ}} = 2·e^{(π/4) ±2nπ} · (cos(-(1/2)·ln(2) + π/2) + i·sin(-(1/2)·ln(2) + π/2))

                               = 2·e^{(π/4) ±2nπ} · (sin((1/2)·ln(2)) + i·cos(1/2)·ln(2)))

2) Man kan gange e^{(1/n) ln(z)} med e^i·(2πp/n) med samme resultat, nr et opløftes til n'te potens.

#1

Ad. 1)

Jeg kan ikke lige se, hvordan du gik fra:

i(-(1/2)·ln(2) + π/2 ±4nπ) = (cos(-(1/2)·ln(2) + π/2) + i·sin(-(1/2)·ln(2) + π/2))

Ad. 2)

Når man bestemmer ln(z), så plejer man at addere ± 2nπi jf. ln(z) = ln(|z|) + iArg(z) ± 2nπi. Betyder det så, at det skal man fortsætte med at gøre, men huske yderligere at addere ± 2πp/n, eller er det KUN og KUN ± 2πp/n, der skal adderes?

#2

1) De to størrelser er ikke lig med hinanden. Venstresiden er eksponenten, højresiden er exp(eksponenten).

2) Det sidste drejede sig om den n'te rod af et komplekst tal, og man bemærker, at for p ∈ Z er

(ⁿ√z  ·  e^i·(2πp/n) )ⁿ = z .

Derfor er eksponenten kun bestemt op til et helt multiplum af i·2π/n .

#3

Ad. 1)

Jeg mente også, hvordan du gik fra:

e^{i(-(1/2)·ln(2) + π/2 ±4nπ)} = (cos(-(1/2)·ln(2) + π/2) + i·sin(-(1/2)·ln(2) + π/2)).

Ad. 2)

Jeg tror, at vi talte forbi hinanden her.

Vi ved, at: ln(z) = ln(|z|) + iArg(z) ± 2nπi

Ser vi nu på: z^1/n = e^{1/n ln(z)}, burde jeg også kunne skrive: z^1/n = e^{1/n (ln(|z|) + iArg(z) ± 2nπi)}

Så var spørgsmålet, om jeg yderligere skulle gange med e^±2πpi/n, altså: z^1/n = e^{1/n (ln(|z|) + iArg(z) ± 2nπi)}e^±2πpi/n?

#4

1) Man benytter, at e^ix = cos(x) + i·sin(x) . Faktoren e^±i4nπ er lig med 1.

2) z^1/n = e^{1/n ln(z)} er 1 af de n løsninger til ligningen wⁿ = z . Samtlige løsninger fås ved at gange denne løsning med e^±2πpi/n .

#5

Tak, jeg kom igennem det, men var 2)'ern et "ja" til #4?

#6

Jeg forsøgte at forklare det oprindelige spørgsmål under #0.

#7

Ja, men er ikke helt sikker på, om det var et ja eller nej. Vil bare være sikker på, om jeg har forstået det korrekt.

#8

Som svar på #2 2): Det er kun 2πp/n, der skal adderes for at finde alle n'te-rødderne.

#9

Okay, et eksempel:

(1+i)^1/2 = e^{[(1/2) (ln(√2) + π/4 ± 2pπi)] ± 2pπi/2}, hvor n = 2.

Det her må være den fuldstændige løsning, ikke?

#10

Nej. Det er

(1+i)^1/2 = e^{ln(1+i)·(1/2)} = e^{(1/2)·(ln(√2)+i·π/4)} · e^i·2πp/2 , p = 0,1

                            = 2^1/4 · e^i·π/8 · e^iπp , p = 0,1

                            = ±2^1/4 · e^i·π/8

#11

Forstået. Tak for tålmodigheden.