Komplekse tal

Hvis z = x + iy , (hvor x og y vel antages for at være reelle), har man

e^iz = e^-y+ix = e^-y · (cos(x) + i·sin(x))

Omskriv  i ( -√(2) ± 1 ) til formen r·e^iφ og oversæt så til x og y.

#1

Det som forvirrer mig er ± tegnet.

Hvordan kan jeg finde modulus eller argumentet, når vi har et tal, der varierer med ± 1?

#2

Betragt det som to opgaver, med de to tal i ( -√(2) + 1 ) , hhv. i ( -√(2) - 1 ). Bemærk, at begge tal er rent imaginære, begge med negativ imaginærdel.

#3

Der er altså to løsninger.

Med den positive del får jeg:

r = √((-√(2) + 1)²) = √(2) - 1

θ = tan^-1 (-√(2) + 1)/(0) = ± π/2

Med den negative del får jeg:

r = √((-√(2) - 1)²) = √(2) + 1

θ = tan^-1 (-√(2) - 1)/(0) = ± π/2

Må jeg dividere med nul, når den reelle del er lig 0?

#4

Nej, hvorfor skulle man dog dividere med 0? Modulus er jo ikke 0. Bemærk den sidste sætning i #3: Argumentet til begge tal er θ = 3π/2 .

Man skal bestemme det komplekse tal z , for hvilket e^iz =  i ( -√(2) ± 1 ) .

#5

Jeg havde sat udtrykket e^iz =  i ( -√(2) ± 1 ) lig e^iz = x + iy = 0 + i ( -√(2) ± 1 )?

Så tror jeg ikke, at jeg er med. Hvordan ser formen ud for e^iz?

#6

Se #1. Ifølge din egen opgaveformulering i #0 er z = x + iy, og e^iz =  i ( -√(2) ± 1 ) .

#7

Jo, men er ikke helt med på, hvordan jeg får e^iz lavet om til polære koordinater, hvilket du ville have mig til først. Vil du vise det?

#8

Det er jo vist i #1.

#9

Er stadigvæk ikke med på, hvad jeg skal nu.

Skal jeg sætte jf. #1: e^-y · (cos(x) + i·sin(x)) = i ( -√(2) ± 1 )?

Så er spørgsmålet, hvordan jeg definerer hhv. x og y.

#10

Ja, men du skal jo have  i ( -√(2) ± 1 ) på polær form også, så man umiddelbart kan sammenligne dem og aflæse.

#11

Vil du vise det? Mit bud i #4 var jo forkert. Kan ikke se, hvordan du har fundet modulus.

#12

Hvis vi ser på ligningen

e^iz = i ( -√(2) + 1 ) ,

har vi altså

e^-y · (cos(x) + i·sin(x)) = ((√2) - 1)·e^i3π/2 = ((√2) - 1)·(i·sin(3π/2))

så man ser, at

x = 3π/2

og

e^-y = ((√2) - 1) , dvs.

y = -ln((√2) - 1) ,

z = x + iy

#13

Hvor får du e^i3π/2 fra? Jeg ville bruge i = e^πi/2.

Dvs.: e^-y · (cos(x) + i·sin(x)) = (-√(2) + 1) · e^πi/2.

#14

Det kan du ikke bruge. I formen r·e^iφ for et komplekst tal skal der jo gælde r ≥ 0 , og (-√(2) + 1) < 0 . Genlæs kommentaren i #3.

#15

Hvorfor skal (-√(2) + 1) < 0? Jeg er godt klar over, at vi kun har en imaginær del, men hvorfor skal netop dette led give et tal, der er under 0, dvs. en negativ værdi?

#16

Det er en konstatering, at (-√(2) + 1) < 0 , og derfor kan du ikke bruge (-√(2) + 1) som modulus for det komplekse tal.

Dit forslag

(-√(2) + 1) · e^πi/2

er ikke en polær form for det komplekse tal, fordi det ikke er skrevet på formen  r·e^iφ med r ≥ 0 .

#17

Jeg kan godt se, at min løsning med en vinkel på π/2 giver en negativ modulus, hvilket er forkert.

Og hvis man skal angive den principale værdi for argumentet, må den så være -π/2.

Løsningen bliver nu:

z = x + iy = -π/2 - ln((√2) ± 1)

Eller den generelle løsning:

z = x + iy = -π/2 ± 2pπ - ln((√2) ± 1), hvor p er et helt tal.

Ikke?

#18

Jo, -π/2 og 3π/2 er kongruente modulo 2π .

I din generelle løsning skal du fjerne "+" foran -ln(...) , og inde i logaritmen skal ± "vendes" til "-+" , fordi

-(√2) ± 1 = -((√2) -+ 1) .

#19

Altså:

e^iz = i ( -√(2) + 1 ) ⇒ gav værdien for y = -ln((√2) - 1)

Jeg går så ud fra, at:

e^iz = i ( -√(2) - 1 ) ⇒ kommer til at give værdien y = -ln((√2) + 1)

De to y-værdier vil du så skrive: y = -ln((√2) -+ 1)? Er det ikke underordnet?