Matematik

diff. ligningssystem

16. februar 2014 af FanofArt (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har følgende opgave og vil egentlig bare høre, om jeg gør (noget af) det rigtigt?

$\dot{x} = 2x - 3y$

$\dot{y}=-x+t$

Jeg finder:

$A=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1& 0 \end{pmatrix}$

kar. pol: det(A-λE) = (2-λ)(-λ)-(-3)(-1) = -2λ + λ² - 3

λ₁ = -1, λ₂ = 3

Opstiller totalmatrix og reducerer:

(A+E) • v = 0 -> v = {x₁,x₂} = {x₂,x₂} = x_{2 •}{1,1}, som er egenvektoren hørende til egenværdien -1.

Tilsvarende finder jeg u = {x₁,x₂} = {-3x₂,x₂} = x_{2 •}{-3,1}

Så løsningen findes ved: {x,y} = A • e^-t • {1,1} + B • e^3t • {-3,1} = {A • e^-t - 3 • B • e^3t, A • e^-t + B • e^3t}

Jeg har løst denne opgave vha. en anden metode (finde løsn. til homogen og partikulær osv osv..), men er blevet spurgt til at løse overstående opgave ved brug af egenværdier og egenvektorer.

Ved "den anden metode" fandt jeg følgende:

x(t) = A • e^3t+ B • e^-t + t -2/3

y(t) = -1/3A • e^3t + B • e^-t -7/9 + 2/3t

Umiddelbart ser det ikke ud som om, at de to løsninger er ens, men skyldes det ikke, at jeg i "metode nr.2" har fundet en partikulær løsn? Er lidt i tvil her, håber nogen kan hjælpe =)

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. februar 2014 af peter lind

Hvad i alverden mener du med udtryk som \dot{x} = 2x-3y og det følgende. Kan vi ikke få opgaven ? Efter som jeg ikke aner hvad du har lavet eller hvad opgaven går ud på, kan jeg ikke svare

Svar #2
16. februar 2014 af FanofArt (Slettet)

Jo jeg uddyber selvfølgelig lige, det gik vidst lidt for hurtigt:

Opgaven lyder: Find den almene løsning af følgende system:

dx/dt = 2x - 3y (1)

dy/dt = -x + t (2)

x-prik = dx/dt.

Jeg har fået af vide, at dette system kan løses på to måder.

Den ene måde er, at løse den homogene ligning af: d²x/dx²- tr(A) • dy/dx + det(A) • x = 0

Dernæst gætter man på en parikulær løsning og finder én og til sidst sættes de to løsninger sammen og dermed har findes løsningen af den inhomogene. Man kan da finde y ved at bruge (1).

Jeg har brugt equation editoren, så er lidt i tvivl om det står rodet? Det ser ok ud her, men kan jo være det driller.

I min bog står der så endvidere, at ligningssystemet kan løses ved brug af egenværdier og egenvektorer, og der er jeg så i tvivl om, om min løsning jeg har lavet er rigtig.

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. februar 2014 af peter lind

Differentierer du den første ligning og derefter indsætter den anden ligning får du

d²x/dt² = 2dx/dt -3dy/dt = 2dx/dt -3(-x+t) = 2dx/dt +3x-3t

Svar #4
16. februar 2014 af FanofArt (Slettet)

Tak for hjælpen :) Jeg har fundet ud af, hvad der gik galt

Skriv et svar til: diff. ligningssystem

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.