Omskrivning af 2 formler

Hvad gælder der om σ₂₂ ? Prøv at give alle relevante oplysninger.

Er

σ = εE

en matrixligning, eller hvordan?

#1

Udtrykket σ = εE er også en del af Hooks lov, der siger, at normalspændingen (σ [MPa]) er lig tøjning, dvs. længdeforøgelse i forhold til objektets oprindelige form (ε [enhedsløs]) multipliceret med elasticitetsmodul (E [MPa). Dvs. man kunne skrive σ₁₁ = ε₁₁E, σ₂₂ = ε₂₂E og σ₃₃ = ε₃₃E, hvor ₁₁, ₂₂ og ₃₃ refererer til hhv. x-, y- og z-aksen. Det er har ikke noget med matrixregning at gøre.

#2

Så har du jo

ε₃₃ = - (v/E) · (σ₁₁ + σ₂₂) = -v·(ε₁₁ + ε₂₂) ,

men du vil have det til at være - v/(1-v) (ε₁₁ + ε₂₂)  ?

#3

Jeg har faktisk løst det, men det krævede også andre informationer, men jeg var selv lidt forvirret.

Men jeg har alligevel matematisk spørgsmål, som du garanteret kan svare på.

Hvis jeg har sin(2ψ) = 0,7136 og cos(2ψ) = -0,7006, kan du så forklare, hvordan man får:

cos:    2ψ = {134,47^o og 225,53^o}

sin:     2ψ = {45,53^o og 134,47^o}

som til sidst medfører:

2ψ = 134,47^o

Hvad sker der helt præcist?

#4

I intervallet [0º;360º[

har ligningen cos(2ψ) = -0,7006 de to løsninger 2ψ = 134,47^o eller 2ψ = 225,53^o .

Tilsvarende har ligningen sin(2ψ) = 0,7136 de to løsninger 2ψ = 45,53º eller 2ψ = 134,47^o .

Ligningssystemet cos(2ψ) = -0,7006 og sin(2ψ) = 0,7136 har derfor den ene løsning 2ψ = 134,47^o .

En vinkel φ er entydigt bestemt modulo 2π (eller modulo 360º) , når man kender både cos(φ) og sin(φ).

#5

Hvorfor er 360^o ikke med? Hvis man har fundet en vinkel for cosinus, hvordan betegner man så (matematisk korrekt) den anden vinkel, som også er en løsning? Og ligeledes for sinus.

#6

For at undgå overlappet ved 0 ≡ 2π (mod 2π).

I intervallet [0;2π[ er løsningerne til ligningen

sin(x) = y

da

y = sin^-1(y)  og  y = π - sin^-1(x) .

TIlsvarende er løsningerne til ligningen

cos(x) = y

da

y = cos^-1(x)  og  y = 2π - cos^-1(x) .

Benyt enhedscirklen til at indse dette.

#7

Du mener vel y = sin^-1(x)?

Er dog ikke helt med på, hvordan man kommer frem til hhv. y = π - sin^-1(x) og 2π - cos^-1(x).

#8

Jo, tak for rettelsen af den tastefejl.

Man benytter, at

sin(x) = sin(π-x) for alle x

og at

cos(x) = cos(-x) = cos(2π-x) for alle x.

x og π-x har samme sinus, og x og 2π-x har samme cosinus.

#9

Helt enig, tak.