Parameterfremstilling - normalvektor???

                      er normalvektor    til planen ABT

Besvarer du a) eller hvad?

Det sidste jeg kom frem til i opgave a) var  [\small \overrightarrow{AB} \: x\: \overrightarrow{AT}]  hvor jeg fik det til (0,0,0) hvilket jeg ikke synes giver mening og heller ikke kan være svaret til opgaven.

I starten af opgaven er punktet T endnu ikke kendt. I a) skal man benytte at vektoren AT er parallel med linien l's retningsvektor

        r = [-27;-16;23] .

En normalvektor til den søgte plan α er derfor vektoren

        n = r × AB .

Desuden skal planen α gå gennem punktet A.

b) For at finde skæringspunktet mellem linien l og planen β , indsætter man de parametriserede x-, y-, z-koordinater for et punkt på linien l i ligningen for planen β , dvs

        23·(16 - 27s) -5·(0 + 23s) + 368 = 0

og løser ligningen for parameterværdien s til skæringspunktet. Den fundne parameterværdi indsættes så linien l's parameterfremstilling. Ligningen bliver

23·16 -23·(27+5)s + 368 = 0 , eller

23·16 -23·(27+5)s + 23·16 = 0 , eller

32s = 32 , dvs.

s = 1 .

Punktet T har da koordinatsættet

T(16-27 , 16-16 , 23) = T(-11 , 0 , 23) ,

hvilket bekræfter dit resultat.

Andersen11 - forstår overhovedet ikke hvorfor du gør sådan og hvordan r x AB = normalvektoren?? Jeg ved at når man har to vektorer og gerne vil have det til én, så kan man tage krydsproduktet. Men hvordan ved du, at du skal bruge AB?

Og tak for svar med opg. b)

Men hvad så med opg. c) hvor man har en retningsvektor fra parameterfremstillingen men man skal bruge en normalvektor?

#5

Man skal benytte to lineært uafhængige vektorer i planen. Vektoren AB og liniens retningsvektor r er to så danne vektorer. Krydsproduktet af de to vektorer står vinkelret på dem begge og er derfor en normalvektor til planen.

I opg c) finder man den søgte vinkel som vinklen mellem de to planers normalvektorer. Normalvektorerne aflæses af planernes ligninger.

Forstår stadig ikke dit svar til opg. a). Kan du ikke droppe ordene "lineært uafhængige" osv. så det er på et niveau hvor man forstår det? Hvad er svaret på opgaven?

I opg. c) er der ikke givet to ligninger. Der er givet en parameterfremstilling og en ligning. Netop derfor kan jeg ikke finde ud af det, da jeg som sagt ikke kan finde ud af at få en normalvektor ud af en parameterfremstilling i rummet.

#7

Jeg er ikke på forhånd klar over, hvad du forstår eller ikke forstår.

I opg c) benytter man ligningen for planen α som findes i opg a), og man benytter ligningen for planen β , som oplyses i opgaven.

a) udregn normalvektoren

n = r × AB = [-27;-16;23] × [-32;0;0] = [0 ; -23·32 ; -16·32] = -32·[0 ; 23 ; 16]

En ligning for planen α er da, idet man benytter punktet A(16 , 16 , 0) som det faste punkt,

0·(x - 16) + 23·(y - 16) + 16·(z - 0) = 0 , eller

        23y + 16z -368 = 0

Nu forstår jeg. Det er fordi jeg ikke har kunnet regne opgave a, at jeg ikke har kunnet lave opgave b, fordi man i a) finder alfas ligning......

Men er det ikke muligt at beregne b) uden at kende alfas ligning men blot parameterfremstillingen?

Til a): men hvor ved du fra at du skal bruge AB? Hvorfor ikke AT eller andet?

#9

Opg b) regnes uden kendskab til planen α, netop som vist i #4.

I a) kender man umiddelbart kun de to punkter A og B, og så linien l's retningsvektor. Det vil da derfor være helt naturligt at benytte AB som den ene vektor i planen α, og så benytte linien l's retningsvektor som den anden vektor. Man kender endnu ikke punktet T, og kan derfor ikke benytte dette.

#9

Hvis du med opg b) egentlig mener opg c) er svaret, at man skal kende begge planers ligninger før man kan finde vinklen mellem dem. Det er ikke tilstrækkeligt blot med parameterfremstillingen for en linie i den ene plan. Man skal derfor løse opg a) før man kan løse opg c).

                        er en normalvektor til planen gennem ABT.

#12, #13

Det bør skrives

så man ikke forveksler krydsprodukttegnet × med en variabel x .

c)
     vinklen mellem planerne er lig med vinklen mellem deres normalvektorer - her den stumpe vinkel:

#14
             JA!