Matematik
Sandsynlighed
25. november 2005 af
Jeg_er_mig (Slettet)
Jeg har en opgave som jeg gerne vil have hjælp til at løse:
Betragt udfaldsrummet
U = {(r,w) | r,w = 1,2,...,6}
som repræsenterer de mulige udfald for kast med to terninger ("red" og "white"). Lad nu
A(r,w) = r
B(r,w) = w
C(r,w) = r + w
D(r,w) = r /\\ w
E(r,w) = r \\/ w
Altså er A øjentallet på den røde terning, B er øjentallet på den hvide terning, C er summen af øjentallene på de to terninger, D er det mindste af de to viste øjental og E er det største af de to viste øjental.
Jeg skal så vise at
P(A = x) = 1/6
P(B = x) = 1/6
P(C = x) = (6-|x-7|)/36
P(D = x) = (13-2x)/36
P(E = x) = (2x-1)/36
Jeg har fået vist at
P(A = x) = P(B = x) = 1/6
men jeg ved ikke helt hvordan jeg skal vise det for C og D. Jeg kan godt bevise det for E når jeg det for D.
Det jeg gerne vil undgå er at skulle til at skrive en tabel op med de 6x6 = 36 mulige udfald, men derimod vil jeg gerne kunne give et mere "generelt" argument (hvis det nu f.eks. havde været to n-sidede terninger).
Min lærer foreslog noget med at skifte variabel (som jeg gør i E når jeg har D), men jeg kan ikke helt finde ud af det for C og D.
Håber I kan hjælpe mig!
Betragt udfaldsrummet
U = {(r,w) | r,w = 1,2,...,6}
som repræsenterer de mulige udfald for kast med to terninger ("red" og "white"). Lad nu
A(r,w) = r
B(r,w) = w
C(r,w) = r + w
D(r,w) = r /\\ w
E(r,w) = r \\/ w
Altså er A øjentallet på den røde terning, B er øjentallet på den hvide terning, C er summen af øjentallene på de to terninger, D er det mindste af de to viste øjental og E er det største af de to viste øjental.
Jeg skal så vise at
P(A = x) = 1/6
P(B = x) = 1/6
P(C = x) = (6-|x-7|)/36
P(D = x) = (13-2x)/36
P(E = x) = (2x-1)/36
Jeg har fået vist at
P(A = x) = P(B = x) = 1/6
men jeg ved ikke helt hvordan jeg skal vise det for C og D. Jeg kan godt bevise det for E når jeg det for D.
Det jeg gerne vil undgå er at skulle til at skrive en tabel op med de 6x6 = 36 mulige udfald, men derimod vil jeg gerne kunne give et mere "generelt" argument (hvis det nu f.eks. havde været to n-sidede terninger).
Min lærer foreslog noget med at skifte variabel (som jeg gør i E når jeg har D), men jeg kan ikke helt finde ud af det for C og D.
Håber I kan hjælpe mig!
Svar #1
25. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
#0:
Lad mig vise dig hvordan du kan lave C, og så kan du eventuelt se om du ikke kan lave D selv, udfra noget af det jeg har lavet.
Vi kan lige så godt generalisere, så lad os se på to n-sidede terninger. Lad 1 <= k <= n, så ser vi at
#{C = k+1}
= #{(1,k),(2,k-1),...,(k,1)}
= k.
Det er klart, at summen er symmetrisk fordelt omkring det aritmetiske gennemsnit
X_n
= 1/n*sum(i, i=1,...,n)
= 1/n*1/2*n*(n+1)
= (n+1)/2.
De to ovenstående ligninger giver os samlet, at antallet af muligheden for a C = x netop er
n - |2*X_2 - x|
= n - |n+1 - x|
= n - |x - (n+1)|
(overvej dette). Eftersom sandsynlighedsrummet er uniformt, og der er n*n = n^2 mulige udfald, er
P(C = x) = (n-|x-(n+1)|)/n^2.
Sætter vi n = 6, fås det ønskede.
Lad mig vise dig hvordan du kan lave C, og så kan du eventuelt se om du ikke kan lave D selv, udfra noget af det jeg har lavet.
Vi kan lige så godt generalisere, så lad os se på to n-sidede terninger. Lad 1 <= k <= n, så ser vi at
#{C = k+1}
= #{(1,k),(2,k-1),...,(k,1)}
= k.
Det er klart, at summen er symmetrisk fordelt omkring det aritmetiske gennemsnit
X_n
= 1/n*sum(i, i=1,...,n)
= 1/n*1/2*n*(n+1)
= (n+1)/2.
De to ovenstående ligninger giver os samlet, at antallet af muligheden for a C = x netop er
n - |2*X_2 - x|
= n - |n+1 - x|
= n - |x - (n+1)|
(overvej dette). Eftersom sandsynlighedsrummet er uniformt, og der er n*n = n^2 mulige udfald, er
P(C = x) = (n-|x-(n+1)|)/n^2.
Sætter vi n = 6, fås det ønskede.
Svar #2
25. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
#1:
Nå, godt så. Jeg tror lige, at jeg prøver igen:
Lad mig vise, hvordan du kan lave C, og så kan du eventuelt selv prøve at lave D, udfra noget af det jeg har skrevet.
Vi kan lige så godt generalisere, så lad os se på to n-sidede terninger. Lad 1 <= k <= n, så ser vi at
#{C = k+1}
= #{(1,k),(2,k-1),...,(k,1)}
= k.
Det er klart, at den toledede sums aritmetiske gennemsnit er givet ved
X_n
= 1/n*2*sum(i, i=1,...,n)
= 1/n*2*1/2*n*(n+1)
= n+1.
Da summen er symmetrisk fordelt omkring dens aritmetiske gennemsnit, giver de to ovenstående ligninger os, at antallet af muligheden for at C = x netop er
n - |X_2 - x|
= n - |n+1 - x|
= n - |x - (n+1)|
(overvej dette!). Eftersom sandsynlighedsrummet er uniformt, og der er n*n = n^2 mulige udfald, er
P(C = x) = (n-|x-(n+1)|)/n^2.
Sætter vi n = 6, fås det ønskede.
Nå, godt så. Jeg tror lige, at jeg prøver igen:
Lad mig vise, hvordan du kan lave C, og så kan du eventuelt selv prøve at lave D, udfra noget af det jeg har skrevet.
Vi kan lige så godt generalisere, så lad os se på to n-sidede terninger. Lad 1 <= k <= n, så ser vi at
#{C = k+1}
= #{(1,k),(2,k-1),...,(k,1)}
= k.
Det er klart, at den toledede sums aritmetiske gennemsnit er givet ved
X_n
= 1/n*2*sum(i, i=1,...,n)
= 1/n*2*1/2*n*(n+1)
= n+1.
Da summen er symmetrisk fordelt omkring dens aritmetiske gennemsnit, giver de to ovenstående ligninger os, at antallet af muligheden for at C = x netop er
n - |X_2 - x|
= n - |n+1 - x|
= n - |x - (n+1)|
(overvej dette!). Eftersom sandsynlighedsrummet er uniformt, og der er n*n = n^2 mulige udfald, er
P(C = x) = (n-|x-(n+1)|)/n^2.
Sætter vi n = 6, fås det ønskede.
Skriv et svar til: Sandsynlighed
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.