Matematik

Forskrift for P

10. marts 2014 af snilo (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej SP

Jeg har problemer med følgende opgave:

dP/dt=(0,8-0,2 t)·P

Bestem en forskrift for P, når det oplyses, at P(0) = 1000.

Jeg har løst den, vha. separation af de variable, hvor jeg får P = c e^(0,8t-0,1*t^2 )

Hvordan bestemmer jeg konstaten?

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. marts 2014 af mathon

separer de variable

Svar #2
10. marts 2014 af snilo (Slettet)

Jamen den skal jo opfylde at P(0)=1000

Hvordan det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. marts 2014 af mathon

$\frac{1}{p}dp = \left ( 0,8-0,2t \right )dt$

$\int \frac{1}{p}dp = \int \left ( 0,8-0,2t \right )dt$

$ln\left | p \right |=0,8t-0,1t^2 + C$

$p(t) =Ce^{0,8t-0,1t^2}$ hvor C "bærer" fortegnet

og
$p(0) = C\cdot e^0=C\cdot 1=C= 1000$

$p(t) =1000\cdot e^{0,8t-0,1t^2}$

Svar #4
10. marts 2014 af snilo (Slettet)

Hvordan kommer jeg frem til en forskrift så?

Svar #5
10. marts 2014 af snilo (Slettet)

Så den hedder: 1000*e^(0,8t-0,1*t^2)?

Brugbart svar (1)

Svar #6
10. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man benytter oplysningen P(0) = 1000 til at bestemme værdien af konstanten C. For den generelle løsning er

P(0) = C·e^{0,8·0-0,1·0^2} = C·e⁰ = C ,

så betingelsen P(0) = 1000 giver da

C = 1000 .

Forskriften er så

P(t) = 1000 · e^{0,8t-0,1·t^2} .

Brugbart svar (1)

Svar #7
10. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja.

Svar #8
10. marts 2014 af snilo (Slettet)

Tak :D

Hvis jeg så skal bestemme det tidspunkt, hvor populationen er størst, og bestemme det største antal individer i populationen, kan jeg så blot indtaste forskriften på TI-nspire og bestemme maximum?

Brugbart svar (1)

Svar #9
10. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Der er maksimum, hvor dP/dt = 0 . Benyt differentialligningen til at løse ligningen

dP/dt = 0

idet man kan benytte, at P(t) > 0 for alle t .

Ligningen bliver derfor

dP/dt = (0,8-0,2 t)·P = 0 , eller

0,8 - 0,2·t = 0

Svar #10
10. marts 2014 af snilo (Slettet)

Tak, det passer også med det maksimum man finder ved at tegne grafen :)

Skriv et svar til: Forskrift for P

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.