Side 2 - Tredjegradspolynomium

#20

De to rødder i 2.-gradspolynomiet er jo så, jvf. #15

        λ = -2 ± √41

2.-gradsligningen, der faktoriseres ud er jo

        -37 +4λ + λ² = 0

#21

Jeg tror, at jeg har misforstået nulreglen, men det skulle gerne være på plads nu. Før vi kan bruge nulreglen kræver det vist, at der står gange imellem hvert led, f.eks. i tilfælde af a = 0 eller ved omskrivning i #17.

Et sidste spørgsmål:

Hvis nu jeg skal bestemme egenvektorerne (x₁, x₂ og x₃) til en given egenværdi, så kan jeg f.eks. ende ud i, at: x₁ + x₂ + x₃ = 0, nemlig en ligning med tre ubekendte. Herefter kan man så udtrykke f.eks. x₁ som funktion af de to andre: x₁ = -x₂ - x₃. Når man skal opskrive denne sammenhæng i vektorform, så skriver man typisk: {x₁ x₂ x₃} = t₁ {-1 0 1} + t₂ {-1 1 0}, hvor t ∈ R.

Hvorfor er det, at man vælger at bruge punkterne (x₂;x₃) = (0;1) og (x₂;x₃) = (1;0)?

#22

Nulreglen siger, at et produkt er 0 , hvis en eller flere af dets faktorer er lig med 0. For at kunne benytte nulreglen kræves der, at der foreligger et produkt, der skal være lig med 0.

Hvad man når frem til i en parameterfremstilling for løsningen til en lineær ligning, afhænger af den aktuelle ligning. I den viste fremstilling er x₂ = t₂ og x₃ = t₁, og så er x₁ = -x₂ -x₃ .

#23

Nemlig, men hvorfor er det hele tiden (x₂;x₃) = (0;1) og (x₂;x₃) = (1;0) som man bruger? Er det fordi, at t₁ og t₂ skal være uafhængige af hinanden eller måtte man også bruge andre vilkårlige tal?

#24

Ja, de skal selvfølgelig være uafhængige af hinanden, eller lineært uafhængige. Det simpleste i en ligning som

        x₁ = - x₂ - x₃

er jo at bruge x₂ og x₃ selv som parametrene.

#25

Hvorfor skal de helt præcist være uafhængige?

Jeg tænker: hvad vil der ske, hvis jeg havde valgt andre punkter? Kan man det?

#26

Løsningsrummet til ligningen

        x₁ + x₂ + x₃ = 0

er et 2-dimensionalt underrum i R³, så en basis for løsningsrummet består af to lineært uafhængige vektorer. De kan jo i princippet vælges på uendeligt mange måder.

#27

Enig.

Basisløsninger er karakteriseret ved at have størrelsen 1 i deres respektive retninger og 0 i de andre - ikke?

#28

Det sidste er jeg ikke enig i . En basis for et vektorrum er et sæt af lineært uafhængige vektorer, der ved linearkombinationer kan frembringe alle vektorer i rummet. Der er ikke noget bestemt krav til basisvektorernes længder ud over, at de ikke må være 0.

#29

Super, tak for forklaringen.