Matematik

Skæringspunkt ml. tangent og førsteakse

13. marts 2014 af roskil (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har problemer med at løse delopgave c i denne opgave, kan nogen venligst hjælpe? På forhånd tak.

En funktion f er givet ved f(x)=sqrt(ax+b)

a) Bestem f'(x):

f'(x)=1/2sqrt(ax+b)

b) Bestem ligningen for tangenten t til grafen for f i punktet P(x0,f(x0)).

t=f '(x)(x-x0)+f(x)=(a(x-x0))/(2sqrt(ax+b))+sqrt(ax+b)

c) Skæringspunktet mellem tangenten t og førsteaksen kaldes S.

Bestem koordinatsættet til S.

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. marts 2014 af peter lind

Løs ligningen t=0

Svar #2
13. marts 2014 af roskil (Slettet)

Er det så korrekt at x = (a^2-b)/a ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. marts 2014 af mathon

$\small f\: '(x) = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$

tangentligning i (x_o,f(x_o)):

$\small y= \frac{a}{2\sqrt{ax_o+b}}\cdot (x-x_o) + \sqrt{ax_o+b}$

skæringspunkt med x-aksen y = 0
giver:

$\small 0= \frac{a}{2\sqrt{ax_o+b}}\cdot (x-x_o) + \sqrt{ax_o+b}$

$\small 0= a \cdot (x-x_o)\:\: + \: 2\left (ax_o+b \right ) = ax - ax_o+2ax_o + 2b$

$\small ax = -ax_o-2b$

$\small x = -x_o-2\frac{b}{a}$

hvoraf
$S = \left ( -x_o-2\frac{b}{a}\: \: ;\: 0 \right )$

Svar #4
13. marts 2014 af roskil (Slettet)

Tusind tak. Kunne jeg så også få hjælp til næste opgave?

Projektionen af P på førsteaksen kaldes R. Bestem arealet af trekant PRS.

JEg forstår at hvis man følger den almindelige formel for trekantens areal hg/2, så vil P's y-værdi svare til h, og differencen af R og S er g. Men hvordan udregner jeg det?

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. marts 2014 af peter lind

Hvad er P ?

Du kan bruge specialtilfældet for en retvinklet trekant. arealet = ½*produktet af kateterne

Svar #6
13. marts 2014 af roskil (Slettet)

Der ikke opgivet nogen værdi for P eller R, alt er abstrakt

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. marts 2014 af mathon

#0
Du har
$\small P = \left ( x_o\: ; \: \sqrt{ax_o+b}\right )\; \; \; \; \; S=\left ( -x_o-2\frac{b}{a; }\; ;\; 0 \right )\; \; \; \; \; R =\left ( x_o;\sqrt{ax_o+b} \right )$

              Arealet af den retvinklede trekant PRS - i følge #5 -
                bliver så:
                                           $T = \frac{1}{2} \cdot \left ( x_o -\left ( -x_o-\frac{2b}{a} \right )\right ) \cdot \sqrt{ax_o+b}$

$T = \left ( x_o+\frac{b}{a} \right ) \cdot \sqrt{ax_o+b}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Når punktet R er projektionen af punktet P på førsteaksen, har punktet R da y-koordinaten 0, dvs

R = (x₀ ; 0)

Arealberegningen i #7 er korrekt.

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. marts 2014 af mathon

Punktkorrektion:

Du har
$\small \small P = \left ( x_o\: ; \: \sqrt{ax_o+b}\right )\; \; \; \; \; S=\left ( -x_o-2\frac{b}{a; }\; ;\; 0 \right )\; \; \; \; \; R =\left ( x_o;{\color{Red} 0} \right )$

Arealet af den retvinklede trekant PRS - i følge #5 -
bliver så:

$T =\frac{1}{2}\left | SR \right |\cdot \left | RP \right |$
$T = \frac{1}{2} \cdot \left ( x_o -\left ( -x_o-\frac{2b}{a} \right )\right ) \cdot \sqrt{ax_o+b}$

$T = \left ( x_o+\frac{b}{a} \right ) \cdot \sqrt{ax_o+b}$

Svar #10
13. marts 2014 af roskil (Slettet)

Burde det ikke være T=b/a*sqrt(ax0+b) da (-x0-2b/a) er en minus parantes?

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Man har

(1/2)·(x₀ - (x₀- 2b/a)) = (1/2)·(x₀ + x₀ + 2b/a) = x₀ + b/a

og det ganges så med √(ax₀+b)

Svar #12
13. marts 2014 af roskil (Slettet)

Okay, mange tak!

Skriv et svar til: Skæringspunkt ml. tangent og førsteakse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.