Vektorteori

Det postuleres, at R³ kan organiseres som et vektorrum (implicit med de reelle tals legeme som tilhørende legeme).

#1

Okay, hvis vi nu tog udgangspunkt i uddraget, er der et punkt givet ved (a₁,a₂,a₃), men jeg forstår ikke det med nul-vektor? Har punktet en nulvektor? Giver ingen mening.

#2

Der står, at nulvektoren 0 i dette vektorrum er repræsenteret ved talsættet (0,0,0) .

#3

Tak. Et andet spørgsmål:

Prikproduktet er givet ved: a • b = |a| |b| cos(φ)

Hvordan kan man vise, at: |a • b| ≤ |a| |b|  for  |cos(φ)| ≤ 1?

#4

Man kan vise det omvendte (OK, det blev så rettet i #4).

        |a • b| ≤ |a| |b|

og det følger jo netop trivielt af, at |cos(φ)| ≤ 1 for alle φ .

#5

Hvordan kan man 'bare' se det? Hvis nu cos(φ) < 1, da bliver højresiden af prikproduktet mindre. Men hvordan kan man afgøre, om det bliver mindre end venstresiden?

#6

Det er givet, at

        a • b = |a| |b| cos(φ)

hvorfor

        |a • b| = |a| |b| |cos(φ)| ≤ |a| |b| · 1 = |a| |b|

#7

Blev i tvivl om, hvad |a • b| giver. Er det den numeriske værdi af prikproduktet? Tilsvarende tager du numerisk værdi på højresiden - ikke?

#8

Jo, |x| betegner jo den numeriske værdi af tallet x .

#9

Fint. Er vi så enige om, at de nedenstående ||-tegn er brugt til at definere længden af vektorerne?:

|a + b|² = (a + b) • (a + b) ≤ |a|² + 2|a||b| + |b|² = (|a| + |b|)²

Jeg forstår i øvrigt ikke, hvorfor der er brugt en ulighed. Er det igen noget man 'bare' kan se?

#10

Ja, det er korrekt. Der benyttes jo resultatet ovenfor, at

|a • b| ≤ |a| |b| , så

|a + b|² = (a + b) • (a + b) = |a|² + 2a•b + |b|² ≤ |a|² + 2|a•b| + |b|² ≤ |a|² + 2|a||b| + |b|²

#11

Okay, det eneste, der givet ved numerisk værdi er |a•b|, men hvordan gik du fra:

|a|² + 2a•b + |b|² ≤ |a|² + 2|a•b| + |b|²?

#12

Det bør være klart, at x ≤ |x| for alle x .

#13

Det er rigtigt, men hvordan kan vi tillade os at bruge: |a • b| = |a| |b|?

Kræver det ikke, at cos(φ) = 1?

#14

Det benyttes da heller ikke. Man benytter, at |a • b| ≤ |a| |b| , som det er nævnt i #11.

#15

Du har ret. En sidste ting. Hvorfor er det, at man prikker to vektorer på følgende måde:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/Teori.jpg

hvor der refereres til (5a*): (a + b) • c = a • c + b • c

Det er da ikke sådan man normalt prikker to vektorer og hvad har formel 5a* med sagen at gøre?

Man udregner skalarproduktet

        a • b = (a₁i + a₂j + a₃k) • (b₁i + b₂j + b₃k)

netop ved at benytte den distributive lov (5a*) for skalarproduktet.

#17

Hvorfor skriver de ikke:

a₁i • b₁i + a₂j • b₂j + a₃k • b₃k?

Hvad er i øvrigt c-vektoren, hvis de bruger formel 5a*?

#18

Det når man jo også til ved at reducere de 9 produkter i skalarproduktet under benyttelsen af, at (i,j,k) er et ortonormalt sæt af vektorer. Hvad du viser i det vedlagte er jo det første skridt på vejen.

Formel (5a*) er den distributive lov, der benyttes gentagne gange under beregningen af skalarproduktet a•b .

#19

Jeg forstår det altså ikke.

Hvis a = a og b = b, hvad er så c?