Matematik
Parameterfremstilling
29. november 2005 af
Finnt (Slettet)
hej, jeg ved ikke hvordan jeg skal gribe følgende opgave an, håber på lidt hjælp herind...
parameterfremstillingen er givet ved:
x(t) = t^2 -2t
y(t) = (t^(2) - 2t)(t+1) , hvor t tilhører R
idet t0 er et fast tidspkt, skal ligningen x(t) = x(t0) løses.
Dernæst skal der ud fra dette resultat beregnes korrdinaterne til kurvens dobbeltpkt.
håber virkelig på hjælp...mange tak
parameterfremstillingen er givet ved:
x(t) = t^2 -2t
y(t) = (t^(2) - 2t)(t+1) , hvor t tilhører R
idet t0 er et fast tidspkt, skal ligningen x(t) = x(t0) løses.
Dernæst skal der ud fra dette resultat beregnes korrdinaterne til kurvens dobbeltpkt.
håber virkelig på hjælp...mange tak
Svar #1
30. november 2005 af fixer (Slettet)
Ligningen x(t) = x(t0) er ensbetydende med de to ligninger
I: t^2-2t = t0^2-2t0
II: (t^2-2t)(t+1) = (t0^2-2t0)(t0+1)
Antag nu at t0^2-2t0 != 0. Da kan denne faktor efter substitution af I i II bortforkortes, og II tager derefter formen
t+1 = t0+1 <=> t=t0
Med andre ord har ligningen x(t)=x(t0) under forudsætning af at t0^2-2t0 != 0 netop een løsning. Ingen af disse vil derfor bestemme et dobbeltpunkt.
Antag nu
t0^2-2t0=0 <=> t0=0 v t0=2
Herved reduceres ligning I og II til
I: t^2-2t = 0
II: 0 = 0
som har løsningerne
t=0 v t=2
Heraf slutter vi
x(t) = x(0) <=> t=0 v t=2
x(t) = x(2) <=> t=0 v t=2
Hermed er x(t)=x(t0) løst.
Indse nu af ovenstående at x(0)=x(2). Hvad er så dobbeltpunktet ?
I: t^2-2t = t0^2-2t0
II: (t^2-2t)(t+1) = (t0^2-2t0)(t0+1)
Antag nu at t0^2-2t0 != 0. Da kan denne faktor efter substitution af I i II bortforkortes, og II tager derefter formen
t+1 = t0+1 <=> t=t0
Med andre ord har ligningen x(t)=x(t0) under forudsætning af at t0^2-2t0 != 0 netop een løsning. Ingen af disse vil derfor bestemme et dobbeltpunkt.
Antag nu
t0^2-2t0=0 <=> t0=0 v t0=2
Herved reduceres ligning I og II til
I: t^2-2t = 0
II: 0 = 0
som har løsningerne
t=0 v t=2
Heraf slutter vi
x(t) = x(0) <=> t=0 v t=2
x(t) = x(2) <=> t=0 v t=2
Hermed er x(t)=x(t0) løst.
Indse nu af ovenstående at x(0)=x(2). Hvad er så dobbeltpunktet ?
Skriv et svar til: Parameterfremstilling
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.