Matematik

Optimering

29. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Hej,

Jeg mangler hjælp til denne opgave:

"En tagrende skal fremstilles af en 60 cm bred, rektangulær blikplade, således at tagrendens to skrå sider er 15 cm og bunden 30 cm.
Firkant ABCD, hvor vinkel B = vinkel C, er tagrendens tværsnit.

Se figur:
http://www.yuhuu.dk/tagrende.jpg

Bestem vinklerne B og C, så arealet af tagrendens tværsnit bliver maksimalt."

Vi har ikke haft om optimering ved vinkler før, så jeg er ikke rigtig med på hvorledes jeg skal komme i gang med opgaven. Så håber der er en der kan forklare det.

Mvh
Peter

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. november 2005 af lany (Slettet)

Find først ud af hvad der skal optimeres... Her er det tværsnittet, der skal optimeres, dvs. være så stort som muligt. Opskriv et udtryk for tværsnittet, hvor vinklen indgår som den variable. Du skal nu differentiere mht. vinklen... Herfra kan du måske selv komme videre?

Svar #2
30. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Ved ikke helt om jeg er med. Tagrenden er en trapez, hvorfor arealet er:
0,5 * h * (|AD| + |BC|)

hvor h er afstanden mellem de to parallelle linjer |AD| og |BC|.

Men hvordan kan vinklen indgå som en variabel?

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. november 2005 af sigmund (Slettet)

Vi skal maksimere tværsnittet, hvilket vil sige at vi skal maksimere arealet af den trapez, der er vist på figuren.

Arealet af en trapez er som bekendt givet ved Areal=(1/2)*h*(a+b), hvor h er afstanden mellem de to parallele linjer a og b.

Bruger vi betegnelserne fra figuren, så er Areal=(1/2)*h*(|AD|+|BC|), hvor h bestemmes ved benyttelse af sin/cos relationerne på retvinklede trekanter. Her får vi den ukendte vinkel (lad os kalde den v) som variabel. Desuden vil bestemmelsen af |AD| også inddrage v som variabel. Dette sættes ind i formlen for arealet, og vi får et funktionsudtryk med v som uafhængig variabel. Dette udtryk vil antage en maksimumsværdi for et givet v, som vi skal finde. Dette v findes ved at differentiere, sætte lig nul, og løse mht. v. Tegn en graf for funktionsudtrykket, så du er sikker på at du har fundet den rigtige v-værdi.

Svar #4
30. november 2005 af KickAzz (Slettet)

Jeg er ikke helt med. Hvordan kan vi bestemme h ved benyttelse af sin/cos relationerne?

sin C = h/d <=> h = d * sin C

Nu er højden bestemt, eller hvad?

Jeg er slet ikke med på, hvad der så sker?

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#4:
Lad x = |AD|. Ansættes målene i cm, har vi arealfunktionen

T(h,x) = (1/2)h(x + 30).

Med henblik på at maksimere T er vi interesserede i at udlede et udtryk for T, som afhænger af én variabel.

Sættes B = C = v, indser man let, at

h = 15sin(pi-v), pi/2 =< v < pi.

Eftersom supplementvinkler (to vinkler med summen 'pi') har samme sinus, vil

h = 15sin(v), 0 < v < pi;

dække enhver værdi af v, når ABCD skal være et trapez. Samtidig er det dog klart, at maksimum for T må søges for v opfyldende

pi/2 =< v < pi (hvorfor?).

Vis nu, at hvis vi endvidere lader y betegne afstanden fra A til højden fra B på AD, så vil

x = 2y + 30 = 30(1 - cos(v)), pi/2 =< v < pi.

og vis, at man dermed af ovenstående får

T(v) = (225)sin(v)(2 - cos(v)), v E [pi/2;pi[

Maksimér denne funktion - og glem, for alt i verden, ikke at benytte rent vinkelmål (radian) på grafregneren!

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#4:
Du henvender dig blot, hvis der er noget i #5, som du ikke forstår.

//Epsilon

Svar #7
03. december 2005 af KickAzz (Slettet)

Hej,

Jeg er med på det nu. Endnu en gang tak for hjælpen.

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. februar 2006 af Nannok (Slettet)

T(v) = (225)sin(v)(2 - cos(v)), v E [pi/2;pi[

T'(v) = 225cos(v)*(2-cos(v)-(225sin(v) * sin(v)

rigtigt?

Skriv et svar til: Optimering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.