Matematik

Tæthedsfunktion

03. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Vi har fået en ekstraopgave af vores lærer, som jeg gerne vil have hjælp til at løse ordenligt (dvs. ikke sådan noget med at tegne en skitse og så se at det vist nok ser fornuftigt ud hvis man nu lige antager at bla bla bla):

Lad X være en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F_X, der er givet ved

0 for x < 0
(1-e^(-x))/(1-e^(-1)) for x E [0,1]
1 for x >= 1

Vis, at X er absolut kontinuert og bestem tæthedesfunktionen f_X.

Svar #1
03. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Opdatering af tråden.

Svar #2
03. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Slet ingen der kan hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. december 2005 af sigmund (Slettet)

Tæthedsfunktionen findes ved differentiation af fordelingsfunktionen.
Desuden ville jeg mene, at hvis du kan vise at F_X er kontinuert, så er X kontinuert.

Svar #4
04. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Okay, så kan jeg godt finde tæthedsfunktionen. Kan det passe at den er givet ved følgende?

e^(1-x)/(e-1) for x E [0,1]
0 ellers

Hvorfor er X absolut kontinuert hvis F_X er kontinuert, og hvordan viser jeg i grunden det?

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. december 2005 af sigmund (Slettet)

Tæthedsfunktionen bliver e^(-x)/(1-e^(-1)). Jeg kan ikke give dig et uddybende svar på det sidste spørgsmål, men hvis fordelingsfunktionen er kontinuert, så må den stokastiske variabel også være kontinuert.

Dem, der evt. har mere sandsynlighedsteoretisk forståelse end jeg har, må bære over med mig hvis jeg blander begreber sammen. Dog ville mit bud være som anført ovenfor.

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. december 2005 af sigmund (Slettet)

Modifikation af #5: Tæthedsfunktionen er e^(-x)/(1-e^(-1)) for x E [0;1] og 0 ellers.

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#5:
I #4 er der blot forlænget med e i forholf til dit bud, så der står faktisk det samme!

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#7:
"forholf" --> "forhold".

Svar #9
04. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Er der nogen som har et bud på hvordan jeg viser at X er absolut kontinuert?

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. december 2005 af 404error (Slettet)

En stokastisk variabel betegnes (absolut) kontinuert, såfremt dens fordelingsfunktion er absolut kontinuert. Det indses let at være tilfældet her.

Svar #11
04. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Gider du at vise mig hvorfor fordelingsfunktionen er absolut kontinuert? Meget gerne et "rigtigt" bevis.

Svar #12
04. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Opdatering af tråden.

Brugbart svar (0)

Svar #13
04. december 2005 af 404error (Slettet)

Hint: En differentiabel funktion er absolut kontinuert.

Svar #14
04. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Hehe, jooo, men gider du så at hjælpe mig med at vise at fordelingsfunktionen er differentiabel? Det skal jeg jo også bruge til at vise, at tæthedsfunktionen overhovedet eksisterer.

Brugbart svar (0)

Svar #15
04. december 2005 af sigmund (Slettet)

Funktionen f: I -> R er differentiabel hvis brøken
[f(x+h)-f(x)]/h
for ethvert x E I har en grænseværdi for h -> 0.

Brugbart svar (0)

Svar #16
04. december 2005 af sigmund (Slettet)

Vi danner brøken

[(1-e^(-x-h))/(1-e^(-1))-(1-e^(-x))/(1-e^(-1))]/h
= [(e^(-x)-e^(-x-h))/(1-e^(-1))]/h
= [e^(-x)-e^(-x-h)]/[(1-e^(-1))*h]

At denne grænseværdi eksisterer, kan vises vha. L'Hopitals regel.

Brugbart svar (0)

Svar #17
04. december 2005 af sigmund (Slettet)

Modifikation af #16: At brøken har en grænseværdi for h gående mod nul, kan vises vha. L'Hopitals regel.

Svar #18
04. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg forstår godt hvad det er du gør, og nu har jeg siddet og bøvlet med at prøve at vise at grænseværdien i #16 eksisterer, men jeg kan ikke rigtig finde ud af det. Gider du at vise mig hvordan det skal gøres?

Svar #19
04. december 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

For resten: hvad med i "overgangspunkterne" for x = 0 og x = 1?

Brugbart svar (0)

Svar #20
04. december 2005 af sigmund (Slettet)

Der er ingen problemer i 'overgangspunkterne', da f_X(0)=0 og f_X(1)=1.

Kender du til L'Hopitals regel? Hvis ikke, se så indlæg #5 i

https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=147708&h=Hopital

Prøv så, vha. denne regel, at vise, at der eksisterer en grænseværdi for brøken i #16.

Forrige 1 2 Næste

Der er 26 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.