Komplekse tal

Ethvert komplekst tal z = x + iy kan skrives på såkaldt polar form,

z = r*cos(v) + i*r*sin(v) = r(cos(v) + i*sin(v)) (*),

med r >= 0 og v et reelt tal. I en sådan fremstilling er

r = sqrt(x^2 + y^2),

og r er altså entydigt bestemt, givet z. Hvis z != 0 og v' er en værdi for v, som passer i (*), så er

v = v' + 2k*pi, k E Z.

Dette følger umiddelbart af gymnasiets viden om vektorer i planen og om sinus og cosinus.

Hver af værdierne af v, som er brugbare i (*), kaldes for et argument til z; skrives 'arg(z) = v'. Ønsker man en entydig repræsentation af z på polar form, er det normale at definere hovedargumentet til z (for z != 0); skrevet 'Arg(z)', som det v, der endvidere opfylder, at

-pi < v =< pi.

Med r og v givet, er z altså entydigt fastlagt via (*). Bemærk specielt, at

z = 0 <=> r = 0.

//Epsilon

Den kompakte form af (*) i #1 er z = r*exp(i*v) (hvor r og v opfylder de samme betingelser som er nævnt i #1).

Desuden er det ikke korrekt når der i #0 bliver sagt at 'pi/4 er lig koordinaterne sqrt(2)/2,(sqrt(2)/2)i'. Det er (hoved)ARGUMENTET (v' i #1) til z = sqrt(2)/2+i*(sqrt(2)/2) der er pi/4. Da MODULUS (r i #1) til z = sqrt(2)/2+i*(sqrt(2)/2) er 1, kan z = sqrt(2)/2+i*(sqrt(2)/2) skrives på polær form som z = exp{(pi/4)*i}.

For at knytte komplekse tal sammen med vektorer, så kan vi sige at modulus til z = sqrt(2)/2+i*(sqrt(2)/2) svarer til længden af vektoren fra origo (0,0) til punktet {sqrt(2)/2,sqrt(2)/2}, og som danner vinkelen v' = pi/4 med x-aksen.

Som et kuriosum kan det til sidst nævnes at den amerikanske lærebog i kompleks funktionsteori, som jeg har benyttet, skriver tallet på polær form som z = r*cis(v), hvor de bruger cis(v) som forkortelse for cos(v)+i*sin(v). Dog bliver dette kun brugt i ét af de indledende afsnit, mens z=r*exp(i*v) bliver brugt i resten af bogen.

#2:
Forfatterne til lærebogen tror måske, at man skal tage hensyn til "cis-trans isomeri" ved fremstillingen af et komplekst tal på polar form. :P

//Epsilon