Matematik

Ligningsløsning

11. december 2005 af pedie (Slettet)

Hvordan ville i løse en ligning af formen:
6cosx * sinx = 0

??

Mvh.
Pedie

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. december 2005 af Marie Fisken (Slettet)

Nulregelen, enten er x = 90 eller 0

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. december 2005 af Epsilon (Slettet)

Opmærksomheden henledes på, at det i forbindelse med ligningsløsning almindeligvis er relevant at oplyse, hvilken delmængde af de reelle tal man arbejder med. I særdeleshed, når der er tale om ligninger, som involverer trigonometriske funktioner.

//Epsilon

Svar #3
11. december 2005 af pedie (Slettet)

#2: Du har fuldstændigt ret. Definitionsmængden siger at x tilhører intervallet ]-(pi/4);(pi/4)[
Altså er der kun 2 løsninger.

Opgaven går ud på at finde ekstremumsstederne for funktionen f(x)=3(sinx)^2
Den ligning jeg så er kommet med i mit første indlæg, er så den afledede funktion af f, som jeg så har sat til at give 0, da jeg skal finde nulpunkterne, eller ekstremumsstederne om man vil.

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#3:
Faktisk er der kun én løsning til den foreliggende ligning, hvis vi opererer inden for intervallet

]-pi/4;pi/4[,

og løsningen er let at bestemme, hvis blot man har et grundlæggende kendskab til definitionerne af sinus og cosinus i enhedscirklen.

Sådan set kan monotoniforholdene for f bestemmes alene ud fra enhedscirklen.

//Epsilon

Svar #5
11. december 2005 af pedie (Slettet)

Inden for det interval, når grafen at opnå sin mindsteværdi og maximumsværdi. Men jeg skal beregne dets nulpunkter, så tror ikke jeg bare kan referere til enhedscirklen. Derfor skal jeg have løst den ligning jeg skrev i #1. Og den burde da også meget gerne give 2 løsninger, da der både fremkommer cosinus og sinus.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:
Ligningen

6sin(x)cos(x) = 0 (*), x E ]-pi/4;pi/4[

har præcis én løsning, hvilket man kan indse ved at betragte enhedscirklen. I dette tilfælde er vi specielt interesseret i den cirkelbue, som afgrænses af to radier i enhedscirklen, som danner vinklen -45° hhv. 45° (svarende til -pi/4 hhv. pi/2) med førsteaksen.

For en løsning til (*) må vi have enten

sin(x) = 0 eller cos(x) = 0

Men bemærk nu, at når x gennemløber ]-pi/4;pi/4[, er cos(x) > 0, og

sin(x) = 0 <=> x = 0.

Altså er x = 0 den eneste løsning til ligningen (*).

Observationen, at cos(x) > 0 i ]-pi/4;pi/4[ betyder samtidig, at fortegnet på f' må være identisk med fortegnet på sin(x), som jo igen kan aflæses af enhedscirklen.

Det er korrekt, at f antager sin minimumsværdi i intervallet

]-pi/4;pi/4[;

men f har faktisk intet maksimum i dette interval.

Det lyder måske sært, men det hænger sammen med monotoniforholdene for f samt det helt afgørende forhold, at vi har at gøre med et åbent interval.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:
Der skulle naturligvis have stået:

"I dette tilfælde er vi specielt interesseret i cirkelbuen afskåret af de to radier i enhedscirklen, som danner vinklen -45° hhv. 45° (svarende til -pi/4 hhv. pi/2) med førsteaksen."

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. december 2005 af sigmund (Slettet)

#7: Et pi/2 har sneget sig ind i post #6 og #7!

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#8:
Søreme ja. Det er vist en advarsel om et vist søvnbehov. :)

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. december 2005 af fixer (Slettet)

#0, #6, #7

Må man have lov at henlede opmærksomheden på at

6sin(x)cos(x) = 3*2sin(x)cos(x) = 3sin(2x)

og at ligningen

3sin(2x) = 0 <=>

sin(2x) = 0

i intervallet ]-pi/4;pi/4[ løses trivielt...

Skriv et svar til: Ligningsløsning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.