Matematik
Komplekse tal
15. december 2005 af
The_Failure (Slettet)
hej derude!
Jeg skriver SSO i komplekse tal og har lige et lille spørgsmål.
i det man opererer med komplekse tal bruger man rodtegnet sqrt(z) hvorimod man normalt bruger +/-sqrt(z) i forbindelse med løsning af ligningen f.eks. w^2 = z.
altså sqrt(5) = +/-sqrt(5) i det reelle tilfælde...
Skyldes dette at komplekse tal ikke kan defineres i "størrelser" og heller ikke har negativt fortegn, eller?
Håber jeg har formuleret mig forståeligt, ellers er i velkommen til at kommentere det, så uddyber jeg gerne!
er der evt. nogen hjælp at hente hos et klogt hoved derude? :)
Jeg skriver SSO i komplekse tal og har lige et lille spørgsmål.
i det man opererer med komplekse tal bruger man rodtegnet sqrt(z) hvorimod man normalt bruger +/-sqrt(z) i forbindelse med løsning af ligningen f.eks. w^2 = z.
altså sqrt(5) = +/-sqrt(5) i det reelle tilfælde...
Skyldes dette at komplekse tal ikke kan defineres i "størrelser" og heller ikke har negativt fortegn, eller?
Håber jeg har formuleret mig forståeligt, ellers er i velkommen til at kommentere det, så uddyber jeg gerne!
er der evt. nogen hjælp at hente hos et klogt hoved derude? :)
Svar #2
16. december 2005 af fixer (Slettet)
Inden for de reelle tal defineres kvardratroden af et tal x>=0 som det positive tal, y, hvis kvadrat er x. Men da kvadratet af -y også er x, må løsningsmængden til ligningen
z^2 = x
angives som
z = +/- sqrt(x)
At man må angive løsningsmængden på denne måde skyldes således, at værdimængden for kvadratrodsfunktionen kun omfatter R+U{0}.
I mængden af komplekse tal, C, defineres kvadratroden af et tal z = |z|exp(iArg(z)) som tallet
sqrt(z) = sqrt(|z|)exp(iArg(z)/2), z != 0
Bemærk at sqrt(z) er defineret på hele C, når man vel at mærke supplerer med definitionen sqrt(0)=0. Ligeledes er værdimængden hele C.
Ovenstående definition fastlægger ikke kvadratroden af tallet z entydigt, idet argumentet for z jo kun er bestemt pånær et helt multiplum af 2pi. Eksempelvis har man at 2 = 2exp(i*(0+2ip*pi)), p E Z, så
z^2 = 2 <=>
|z|exp(iArg(z)) = sqrt(2)exp(2ip*pi), p E Z
eller
z = +/- sqrt(2)
Kvadratrodsfunktionen gøres entydig ved til eksempel at indlægge et forgreningssnit i den komplekse plan langs de negative reelle tal. Herved vil der for argumentet af ethvert komplekst tal z gælde at -pi<Arg(z)=<pi. I ovenstående tilfælde finder man derfor kun løsningen +sqrt(2).
z^2 = x
angives som
z = +/- sqrt(x)
At man må angive løsningsmængden på denne måde skyldes således, at værdimængden for kvadratrodsfunktionen kun omfatter R+U{0}.
I mængden af komplekse tal, C, defineres kvadratroden af et tal z = |z|exp(iArg(z)) som tallet
sqrt(z) = sqrt(|z|)exp(iArg(z)/2), z != 0
Bemærk at sqrt(z) er defineret på hele C, når man vel at mærke supplerer med definitionen sqrt(0)=0. Ligeledes er værdimængden hele C.
Ovenstående definition fastlægger ikke kvadratroden af tallet z entydigt, idet argumentet for z jo kun er bestemt pånær et helt multiplum af 2pi. Eksempelvis har man at 2 = 2exp(i*(0+2ip*pi)), p E Z, så
z^2 = 2 <=>
|z|exp(iArg(z)) = sqrt(2)exp(2ip*pi), p E Z
eller
z = +/- sqrt(2)
Kvadratrodsfunktionen gøres entydig ved til eksempel at indlægge et forgreningssnit i den komplekse plan langs de negative reelle tal. Herved vil der for argumentet af ethvert komplekst tal z gælde at -pi<Arg(z)=<pi. I ovenstående tilfælde finder man derfor kun løsningen +sqrt(2).
Skriv et svar til: Komplekse tal
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.