Matematik
Bestemmse af intregrale (SSO)
16. december 2005 af
trygve (Slettet)
Hej.
Jeg er i gang med at skrive SSO om blandt andet en udledning af ligningen for kædelinjen.
I den anledning, skal jeg bestemme det ubestemte integrale:
int(1/(scrt(1+x^2)))dx
som så skal give
ln(scrt(1+x^2)+x)
Jeg har selv fundet en måde at finde det på, nemlig ved at starte med at substituere x=tant dx=(1+(tant)^2)dt og senere hvor sint=s og ds=cost*dt..
Men det er rimelig kompliceret, og jeg tror måske der findes en lettere løsning på problemet.
Håber i kan hjælpe mig.
Mvh Trygve
Jeg er i gang med at skrive SSO om blandt andet en udledning af ligningen for kædelinjen.
I den anledning, skal jeg bestemme det ubestemte integrale:
int(1/(scrt(1+x^2)))dx
som så skal give
ln(scrt(1+x^2)+x)
Jeg har selv fundet en måde at finde det på, nemlig ved at starte med at substituere x=tant dx=(1+(tant)^2)dt og senere hvor sint=s og ds=cost*dt..
Men det er rimelig kompliceret, og jeg tror måske der findes en lettere løsning på problemet.
Håber i kan hjælpe mig.
Mvh Trygve
Svar #2
16. december 2005 af trygve (Slettet)
Ja det ved jeg, arcsinh(x) er jo netop ln(scrt(1+x^2)+x)!
Det jeg efterlyse er en smartere måde at komme til dette resultat
Det jeg efterlyse er en smartere måde at komme til dette resultat
Svar #3
16. december 2005 af fixer (Slettet)
Et alternativ er at indføre substitutionen
x = ½(t-1/t), t E R+
som er injektiv i intervalllet R+ med den inverse
t = x + sqrt(x²+1), x E R
Man finder dernæst
dx/dt = ½(1+1/t²)
og ved udregning fås
sqrt(x²+1) = ½(t+1/t)
Med denne substitution forløber regningerne som
S[1/sqrt(x²+1)]dx =
S[1/(½(t+1/t))*½(1+1/t²)]dt =
S[2t/(t²+1)*(t²+1)/2t²]dt =
S[1/t]dt =
log(t) + k, k E R
Ved tilbagesubstituering fås det ønskede.
x = ½(t-1/t), t E R+
som er injektiv i intervalllet R+ med den inverse
t = x + sqrt(x²+1), x E R
Man finder dernæst
dx/dt = ½(1+1/t²)
og ved udregning fås
sqrt(x²+1) = ½(t+1/t)
Med denne substitution forløber regningerne som
S[1/sqrt(x²+1)]dx =
S[1/(½(t+1/t))*½(1+1/t²)]dt =
S[2t/(t²+1)*(t²+1)/2t²]dt =
S[1/t]dt =
log(t) + k, k E R
Ved tilbagesubstituering fås det ønskede.
Skriv et svar til: Bestemmse af intregrale (SSO)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.