Matematik
SSO differentialligninger
BOGEN SKRIVER:
x er antal radioaktive kerner
x' er antal kerner der er hanfaldet
formlen der beskriver henfaldet:
x' = -µx (hvorkonstanten µ>0)
antallet af atomer til tiden t=0 er xo.
OG SÅ DET MÆRKELIGE:
løsningen har formen:
x = xo * e^(-µt)
Forstår ikke det sidste...differentialligningen er jo en homogen 1. ordens ligning...så løsningen burde da være af formen:
x = c * e ^(µt)
Ved godt det kan være svært at svare på når I ikke har bogen, men hvis nogen alligevel er frisk på at prøve kunne det være rart :)
Svar #1
17. december 2005 af Riemann
x'=k*x
har den fuldstændige løsning,
x = c * e ^(kt).
Hvis vi nu betragter dit eksempel er c=x0 og k=-µ.
heraf fås følgende for x ved at indsætte dine værdier i løsningsformlen:
x = c * e ^(kt)=x0*e^(-µt)
Svar #2
17. december 2005 af Sa5 (Slettet)
jamen hvis ligningen har formen:
x'=k*x
Er formen for den fuldstændige løsning da:
x = c * e ^(-kt)
ikke?
Og så burde jeg da få løsningsformlen:
x = xo*e^(µt)
Og andet problem:
Hvorfor sætter de lige den arbitære konstant c lig den egentlige løsning xo?
Tak fordi du gad kigge på det :)
Svar #3
17. december 2005 af Riemann
x'=k*x
Har IKKE den fuldstændige løsning,
x = c * e ^(-kt)
, men derimod er
x = c * e ^(kt)
den fuldstændige løsningen til den angivede differentialligning.
Angående det andet problem:
Betragt situationen, hvor du kender antallet af kerner, x0, til tiden, t=0. Du har således et begyndelsesværdiproblem, hvor du ved, at løsningen går igennem punktet (t,x)=(0,x0).
Hvis du sætter t=0 i løsningen,
x = c*e^(-µt)
er leddet, e^(-µt), lig 1. Et reelt tal opløftet i 0'e er jo 1...
tilbage bliver så x=c. Og du ved jo, at x=x0 , for t=0, hvilket gør, at c=x0 i dette tilfælde.
Svar #4
17. december 2005 af Sa5 (Slettet)
Den fuldstændige løsning til
y' + f(x)y = 0
er
y = ce^(-F(x)).
Hvis f(x) er en konstant da:
f(x)=k
<=> F(x)=S[k]= kx
<=> -F(x)=S[k]=-kx
Heraf:
y = ce^(-kx)
Hvor går jeg galt henne?
tænker tænker tænker...
Svar #6
17. december 2005 af Riemann
Din model for henfaldet siger, at
x' = -µx (hvor µ>0)
Dette kan omskrives til
x'+µx =0
eller skrevet på en mere formel måde,
y' + f(x)y = 0 (bemærk at f(x) er konstant)
I #4 løser du denne og får
y = ce^(-kx)
I din model svarer dette til
x = x0 * e ^(-µt)
hvilket netop var hvad du skulle vise
Så i #4 gjorde du det faktisk rigtigt :)
Skriv et svar til: SSO differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.