Side 2 - Fourieranalyse

#20

Det drejer sig om at scalere den variable x så at funktionen i den nye variable v har perioden 2π. Det er jo blot et spørgsmål om at benytte en passende længdeenhed.

#21

1) Jeg forstår ikke teksten. Det er nok der, hvor det går galt. Siger de, at f(p/(2π)v) har perioden 2π? Men var vi ikke interesseret i et udtryk med perioden 2L?

2) Hvordan kan man udlede sammenhængen i (1)? Er det oplagt?

#22

Nej, det er den anden vej. Hele teorien for Fourierudvikling er baseret på funktioner med perioden 2π. har man i stedet en funktion med perioden 2L er det let at scalere abscissen, så funktionen får perioden 2π hvorved man kan benytte alle resultaterne udviklet i teorien for periode 2π .

Hvis x varierer fra 0 til p, vil   v = (x/p)·2π variere fra 0 til 2π . Der er tale om en simpel lineær scalering.

#23

Tak for det.

#23

Hvordan kan en lige funktion være med til at give en a₀ værdi i Fourierudviklingen? Se:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Koefficienten a₀ er defineret som:

a₀ = 1/(2π) · ∫_-π^π f(x) dx

Hvis du integrerer symmetrisk omkring en lige eller en ulige funktion for den sags skyld, så burde man få nul, skulle man ikke forvente det?

Bump

#25

Når funktionen er lige, gælder der jo

        a₀ = (1/2π) · 2·∫₀^π f(x) dx

#27

Hvis du tager f(x) = cos(x) og indsætter det i din funktion i #27, så giver det a₀ = 0. Ligeledes med f(x) = sin(x), så giver a₀ = 0. Jeg forstår ikke, hvor det går galt.

#28

Ja, for funktionen cos(x) bliver a₀ lig med 0. Integralet over en hel periode af både sin(x) og cos(x) bliver jo 0. Men f(x) er en mere generel funktion, og der gælder jo ikke, at ∫₀^π f(x) dx = 0 for alle funktioner.

#29

Men hvis du ser på linket i #25, så antager vi, at vi har en lige funktion. Derfor skulle a₀ væk jo?

#30

Nej, integralet er da ikke 0 for en generel lige funktion, se #27.

#31

Ok, så f.eks. linjen f(x) = 3 er en lige funktion, idet f(-x) = f(x). Men vi har så et særtilfælde med cosinus, at vi får a₀ = 0. Jeg tror, at jeg har den nu.

#32

Ja. Generelt er a₀ ikke 0. Men selvfølgelig findes der lige funktioner, for hvilke a₀ = 0 .

#33

Tak!