Fourieranalyse

Der står "i dette eksempel", så det er ikke noget, der gælder alment. Hvis f(x) er en ulige funktion bliver a_n = 0 for alle n

#1

Formuleringen er fra introduktionen, hvor der ikke er gennemgået et eksempel. Men senere kommer der et eksempel, hvor vi ender med at bruge kun sinusfunktioner, som tilfældigvis er 0 ved x = 0 og π.

Så det er ikke generelt eller hvad?

cosinusfunktioner:

 For
                

dvs
               

sinusfunktionen er en ulige funktion.

#3

Hvad er det du prøver at forklare med det?

#2 Det gælder ikke generelt. Du kan bare sætte f(x) til cos(x). Der holder det åbentlyst ikke

#5

Hvis nu f.eks. f(x) = -k for -π < x < 0 og f(x) = k for 0 < x < π, finder man ud af, at approksimationen kun indeholder sinusfunktioner. I x = 0 samt x = ±π giver approksimationen lig nul. Ja, jeg ved godt, at det er fordi sinus ikke har en værdi i de pågældende punkter, men er det fordi, at f(x) ikke er defineret i disse punkter, at vi får 0? Hvordan kan man give en forklaring på det?

#6

Den viste ulige funktion f(x) er diskontinuert i x = 0. Når man Fourierudvikler en funktion, der er diskontinuert i et diskret punkt, vil sumfunktionen for Fourierudviklingen have en værdi i diskontinuitetspunktet, der er middelværdien af funktionens grænseværdier fra højre og venstre.

#7

Du har ret.

Ved du, hvilken notation de bruger i lærebogen under figur 262? Der står f(1-0) og f(1+0). Er det en almen skrivemåde?
https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

#8

0 er jo netop middelværdien af -k og k .

#9

Ja, det bemærkede jeg. Grænseværdien fra venstre og højre er vel hhv. -k og k, ikke?

Vil du tjekke notationen i #8?

#10

Jeg kan ikke mindes at have set den notation før, men det er jo forklaret, hvad det betyder.

#11

Ja, men giver det mening?

Jeg har altid lært det på følgende måde:

a = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) = (f(x₀ + h) - f(x₀))/((x₀ + h) - x₀),

men forudsætter denne her skrivemåde, at man differentierer fra 'højre'?

#12

I det vedlagte i #8 er der en fortegnsfejl i den højrehåndsafledede; det skal være

        (f(x₀ + h) - f(x₀ + 0)) / h

Den venstrehåndsafledede er korrekt.

Dit udtryk i #12 gælder, når funktionen er differentiabel. For de to udtryk for venstre- og højrehåndsafledede går h mod 0 gennem positive værdier i begge udtryk. Derfor er h erstattet af -h i den venstrehåndsafledede.

#13

Er det vigtigt, at h går mod 0 gennem positive værdier? Hvad har det at sige?

#14

Nej. Det der er vigtigt er, hvad der bliver formuleret. Jeg gjorde blot opmærksom på, at din tekst har tilrettelagt det sådan.

#15

Hvis nu jeg lavede en Fourierudvikling af funktionen til venstre i linket i #8 og jeg efterfølgende undersøgte et punkt, hvor funktionen var kontinuerlig - f.eks. x = 0,5. Hvad er det helt præcist jeg ville få ud af min Fourierudvikling, hvis jeg satte x = 0,5? Ville jeg få den samme værdi som, hvis jeg havde sat x = 0,5 i min oprindelige funktion, der hedder x²?

#16

Ja, i alle de punkter, hvor funktionen f(x) er kontinuert, vil Fourierudvilingen for funktionen stemme overens med f(x). Det fremgår jo også klart af den indrammede tekst i det vedlagte i #8.

#17

OK, så når vi rammer punktet x = 1 i figur 262, så får vi kun middelværdien af grænserne målt fra hhv. venstre og højre. Vil det sige, at vores Fourierudvikling divergerer i netop x = 0?

#18

Fourierudviklingen divergerer ikke; den konvergerer, men grænsefunktionen er diskontinuert, hvor f(x) er diskontinuert. Funktionen f(x) er antaget at være stykkevis kontinuert. I et diskret diskontinuitetspunkt kan f(x) i princippet have en arbitrær værdi; uanset, hvad denne værdi er, vil Fourierudviklingens værdi være middelværdien af grænseværdierne fra højre og venstre.

Jeg ved ikke, hvad du sigter til for x = 0?

#19

Jeg spurgte, for at have en idé om jeg havde forstået det, men jeg tror at jeg har fanget den nu.

En sidste ting. Jeg forstår virkelig ikke, hvad der bliver lavet i det følgende:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Skal det forstås, at f(x) har perioden p = 2L og en anden funktion f(v) har perioden p = 2π? Jeg er lidt på bare bund her.