Matematik
Optimering
Med O(x) betegnes de samlede omkostninger, angivet i mio. kroner, ved produktionen af x enheder af en vare.
Funktionen O er givet ved:
O(x) = 0,2x+100+30*sin(0,006x) , x tilhører 0-1000 lukket.
Vis ved at benytte O'(x), at O(x) er en voksende funktion af x.
Hver produceret enhed sælges for 0,35 mio. kroner. Fortjenesten F som funktion af antallet x af pruducerede enheder er derfor bestemt ved:
F(x) = 0,35x-O(x)
Vis ved at benytte F'(x), at fortjenesten har en størsteværdi, og bestem denne.
HJÆLP! Er så dårlig til at finde ud af, hvad man lige gør, når man skal bevise......
Bare et hint.
Svar #1
30. december 2005 af sigmund (Slettet)
Svar #3
30. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
Ad 1)
Du skal vise at O'(x) > 0 for alle x E [0,1000].
Ad 2)
Bestem de x-værdier hvor F'(x) = 0, og undersøg så hvor F_max indtræffer. De relevante punkter er for de føromtalte x-værdier samt endepunkterne.
Svar #4
30. december 2005 af Hilano (Slettet)
Og i 2) skal jeg finde maksimumssteder.
:)
Svar #5
30. december 2005 af Dominik Hasek (Slettet)
Nej, det er ikke det jeg skriver; I den første delopgave skal du vise at O' er positiv -- ikke at den er voksende. Med hensyn til den anden delopgave, så må den største fortjeneste jo netop være der hvor fortjenestefunktionen har maksimum, så ja, du skal finde maksimumsstedet (der er kun ét).
Svar #6
01. januar 2006 af Hilano (Slettet)
Jeg er helt lost i hvordan jeg skal bevise at O'(x) > 0.
Men i den næste kan jeg ikke sætte O'(x) = 0. Lommeregneren siger false
?
Svar #7
02. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Ad 1)
For at vise, at O' er positiv, brug da at
-1 <= cos(x) <= 1
for ethvert x.
Ad 2)
Jeg forstår ikke hvad du mener. Selvfølgelig kan du sætte O' = 0, og det viser sig at ligningen har to løsninger i det angivne interval.
Svar #8
02. januar 2006 af Hilano (Slettet)
Jeg sætter F'(x) = 0, dvs.
0,003 * cos (0,006*x) + 0,15 = 0
Ved ikke hvorfor.....
Svar #9
02. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
For det første: fik du vist at O'(x) > 0 for alle x E [0,1000]?
Med hensyn til F'(x), så har du ikke beregnet differentialkvotienten korrekt -- prøv igen! Det rigtige svar er
F'(x) = 0,15 - 0,18*cos(0,006x)
men prøv selv at udled dette.
Svar #10
07. januar 2006 af Hilano (Slettet)
Jeg får løsningerne
x = 97,6 eller x = 949,6
Nu skal jeg finde størsteværdien ved at benytte fortegnsvariation.
Jeg prøver med x = 50 og x = 500
Og finder nu ud af at det kun er x = 949,6 der er maksimum.
Så skal jeg bestemme størsteværdien.
Gør man ikke det ved at sætte x ind i F(x)?
F(x) = 59,02
Er det så størsteværdien eller skal den ganges med de 0,35 mio?
:)
Svar #11
07. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Umiddelbart ser det rigtigt ud, at F' har nulpunkter omkring 100 og 950 (jeg har ikke selv beregnet dem).
Ved kun at prøve at x = 50 og x = 500, kan du ikke være sikker på at F antager maksimum i x ~ 949,6, thi
1) F kan jo have vandret vendetangent i x ~ 949,6, således at F også vokser fra 949,6 til 1000. Beregn eksempelvis F(950) og vis at denne værdi er negativ, så har du det på det rene.
2) Du skal også beregne F(0), for F er jo aftagende i intervallet [0, ~97,6], så i princippet kan F(0) > F(~949,6).
Når du så har vist at F faktisk antager maksimum for x ~ 949,6, vil F(~949,6) ganske rigtigt være den største værdi. Hvorfor vil du gange med 0,35 millioner -- hvor kommer det fra?
Svar #12
07. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Rettelse:
``Beregn eksempelvis F(950) og vis'' --> ``Beregn eksempelvis F'(950) og vis''
Svar #13
07. januar 2006 af Hilano (Slettet)
Det med F'(950) har jeg faktisk gjort, ved ikke lige hvorfor jeg ikke skrev det :)
Hvorfor skal jeg tage F'(0) - det forstår jeg ikke lige?
Svar #14
07. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Det skriver jeg heller ikke; jeg skriver at du skal beregne F(0). Forklaringen herpå har jeg givet i 2) i #11.
Svar #15
07. januar 2006 af Hilano (Slettet)
Og jeg kan stadig ikke helt se hvad jeg skal bruge det til?
Svar #16
07. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Ud fra forskriften for F, hvordan vil du så da (uden at beregne F(0)) vide dig sikker på at F(~949,6) > F(0)? Jeg kan ikke se hvordan man kan være sikker på dette, for både F(0) og F(~949,6) er jo større end minimum.
Svar #17
07. januar 2006 af Hilano (Slettet)
men da den er -100 passer det jo at 949,6 er maksimum :)
Jeg kan godt se at det skal skrives
Svar #19
09. februar 2006 af MichaelKarlsen (Slettet)
"Ad 1)
For at vise, at O' er positiv, brug da at
-1
for ethvert x."
Kan nogen forklare, hvorfor det kan bruges i dette tilfælde? Jeg synes, jeg har tænkt længe over det. :-(