Matematik
Differentialregning - hjælp
Jeg er igang med en lille opgave, som jeg søger hjælp til. Opgaven kan findes her: http://theko.dk/diverse/Aflevering%205-1.doc
Her er mine udregninger so far:
f(x)=x^3-6x^2+9x-2
f'(x)=3x^2-12x+9a
Finder nulpunkter vha. andengradsligningen for den differentierede ligning:
(12 +/- sqrt((-12)^2-4*3*9))/2*3 = x
x = 1 eller 3
f er voksende i intervallet ]-uendelig;1[ og ]3;uendelig[ da f'(x) er voksende i dette interval
f er faldende i intervallet ]1;3[ da f'(x) er negativ i dette interval
Er dette rigtigt?
Svar #1
03. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Jeg aner ikke om f er bestemt korrekt, men under antagelse af at den er det, så er f' ikke korrekt, thi
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 =>
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
Det er så korrekt, at
f'(x) = 0 =>
x = 1 eller x = 3
De angivne monotoniforhold er ikke rigtige; der gælder at
f er voksende på ]-uendelig; 1]
f er aftagende på [1; 3]
f er voksende på [3, uendelig[
Grunden til at f er voksende er at f' er positiv, ikke at f' er voksende.
Svar #2
03. januar 2006 af TheKo (Slettet)
Du har løst f'(x) præcis som jeg, og fundet samme nulpunkter!?
Jeg lægger den op i et andet format...
Svar #4
03. januar 2006 af TheKo (Slettet)
Skal jeg bare indsætte x=1 og x=3 i f(x) for at finde y-værdien, hvilket så giver ekstremumspunktet?
Når jeg tegner grafen f(x) skærer den førsteaksen tre steder; jeg har kun fundet to! Hvordan hænger det sammen?
Svar #5
03. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Der er stor forskel, thi
1) i bestemmelsen af f' har du 9a som sidste led, hvor det skal være 9,
2) i monotoniundersøgelsen, da er første interval halvåbent, andet interval er lukket og det sidste inteval er halvlukket; du skriver at alle tre er åbne, hvilket er forkert,
3) her kan jeg gentage mig selv: grunden til at f er voksende er at f' er positiv, ikke at f' er voksende.
#4:
Ja, y-værdierne til koordinatsættet til ekstremumspunkterne bestemmer du ganske rigtigt som du foreslår.
Det du har fundet er jo nulpunkter for f', ikke for f. Iøvrigt er f et tredjegradspolynomium, og så ved vi fra algebraens fundamentalsætning, at f har tre nulpunkter.
Svar #6
03. januar 2006 af TheKo (Slettet)
2) Ok, min lærer har ellers fortalt at vi aldrig kan gå galt i byen hvis vi kun laver åbne...
3) også tastefejl
Jeg forstår ikke helt hvordan jeg kan finde f(x)'s ekstrema ud fra f'(x)...
Svar #7
03. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Jeg aner ikke hvad du mener i 2).
Hvad mener du med at du ikke forstår hvordan du kan finde ekstrema for f ud fra f'(x)? Du har jo lige fundet dem, så jeg er ikke med.
Svar #8
03. januar 2006 af TheKo (Slettet)
Mht. nr. 2, så laver jeg altid åbne paranteser, fx ]1;2[, da min lærer har sagt at det altid er rigtigt.
Men tak for hjælpen - jeg vender højst sandsynligt tilbage senere ;)
Svar #9
03. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Godt at du fandt ud af det!
Du kan godt sige til din lærer, at han/hun er en vatnisse, for selvfølgelig er det korrekt at man aldrig tager fejl ved ikke at tage endepunkterne med, men man vælger altid så store intervaller som muligt!
Skriv du bare igen, hvis der er flere problemer.
Svar #10
03. januar 2006 af TheKo (Slettet)
Svar #11
03. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Eftersom du kender f', kan du finde tangenthældningen som f'(x_0). Du kender også koordinatsættet til et punkt på tangenten, nemlig (x_0, f(x_0)). Ved brug af disse to oplysningen, kan du finde lignignen for tangenten med røringspunkt i (x_0, f(x_0)).
Svar #12
03. januar 2006 af TheKo (Slettet)
f'(2)= -3
Det er så hældningen?
Punktet er (2,0) ?
Svar #14
03. januar 2006 af TheKo (Slettet)
x_0 = 2
f'(2)=-3
f(2)=0
Dvs.
a=(-3)
jeg har punktet (2,0)
0=(-3)*2+b
b=6
f'(x)=(-3)x+6
for x_0=4
f'(4)=9
f(4)=2
a=9
2=9*4+b
b=(-34)
f'(x)=9x-34
Rigtigt?
Svar #15
03. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Jeg er enig med i den første, dog _skal_ du skrive
y = -3x + 6
Det er jo ikke f' der er givet ved dette udtryk! For x_0 = 4 får jeg, at
f(x_0) = 20
f'(x_0) = -9
og dermed en tangentligning der er givet ved
y = 9x - 16
men det kan da godt være at jeg tager fejl. Tjek lige igen, og hvis du stadig får det samme, så er det højest sandsynligt mig, der har regnet forkert.
Svar #16
04. januar 2006 af TheKo (Slettet)
Tak for svarene. Jeg vender tilbage senere i aften.
Imidlertid, ved du så hvor jeg kan finde en oversigt til differientiering?
Fx, at x = 1
Svar #17
04. januar 2006 af allan_sim
Måske i din bog?
I øvrigt er det noget sludder at skrive, at x=1, hvis du dermed mener, at funktionen f(x)=x giver differentialkvotienten f'(x)=1.
Svar #18
04. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Velbekomme. Ud over at se i din bog, som foreslået i #17, kan du også tage et kig på http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html.
Svar #19
04. januar 2006 af TheKo (Slettet)
#18: Tak.
Svar #20
04. januar 2006 af TheKo (Slettet)
Jeg bruger polynomisk division med den kendte rod 2:
x^3-6x^2+9x-2 : (x-2) = x^2-4x-1
Problemet kommer når jeg prøver at finde kvotientpolynomiets rødder vha. andengradsligningen (eller hvad den hedder):
(4 + - sqrt((-4)^2-4*1*1)))/2*1
Jeg får nogle meget skæve tal der ikke passer. Hvad gør jeg forkert?